Анализ метода знакопостоянных функций Ляпунова

курсовая работа

§ 1. Постановка задачи о синтезе управления

Пусть движение некоторой управляемой системы описывается системой дифференциальных уравнений

= , (1.1)

где Є n есть вектор-функция переменных, являющихся некоторыми контролируемыми параметрами, связанными с движением управляемого объекта, а Є Rm есть вектор-функция управления, приложенного к объекту.

Пусть = есть некоторое частное движение системы, порождаемое управлением .

Таким образом, имеем

(1.2)

Примем за невозмущенное движение, а за возмущенное движение будем считать движение, которое также описывается уравнениями (1.1), но уже при значениях , отличных, вообще говоря, от воздействия .

Введем переменные

(1.3)

где - возмущения параметров движения, - отклонения управляющих воздействий от порождающего управления .

Из соотношений (1.1), (1.2) и определения (1.3) получаем, что возмущенное движение при отклонении , принимаемом за дополнительное управление, описывается системой уравнений

(1.4)

где

Согласно составленному переходу, имеем соотношения

(1.5)

Будем предполагать, что правая часть системы (1.4), вектор-функция определена и непрерывна для всех, за исключением, быть может, точки и некоторого заданного множества, где Г =, есть норма в n-мерном действительном пространстве Rn, задаваемая в соответствии с конкретной постановкой задачи, Rm есть m-мерное действительное пространство с соответствующей нормой

Также будем полагать, что дополнительное управление u, целью которого является приведение системы в движение по закону , или по закону х (t) ? 0 системы (1.4), формируется по цепи обратной связи с измерением текущих значений параметров х, т.е. в виде зависимости В соответствии с (1.3) и (1.5) следует принять, что желательно, чтобы искомое управление удовлетворяло условиям (1.6).

знакопостоянная функция ляпунов управляемая

Пусть U ‚ Rm есть класс управлений которые могут быть построены на основе обратной связи, определенных и непрерывных в области, за исключением, быть может, точки x = 0 и некоторого заданного множества.

Допустим, что для каждого соответствующие движения для каждой точки при являются единственными.

Введем следующие обозначения: - управляемое движение, удовлетворяющее начальному условию и порождаемое управлением .

В работе [33] дана следующая постановка задачи синтеза управления для системы (1.4) на конечном отрезке времени.

Определение 1.1 Задача синтеза управления на конечном отрезке времени состоит в нахождении управления такого, чтобы движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке из некоторой окрестности х = 0 в любой начальный момент времени t0, попадала в конечный момент времени, где , в заданную точку х = 0.

При этом синтез будем называть устойчивым, если при решающем поставленную задачу, для любого, и для любого _ > 0 существует д > 0, такое, что , если и .

Для решения поставленной задачи в [33] применен метод функций Ляпунова. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1 [33] Рассмотрим управляемый процесс (1.4). Будем предполагать, что вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и в области

удовлетворяет условию Липшица

Пусть существует в замкнутой области

функция , удовлетворяющая условиям:

1) при и для любого;

2) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, за исключением, быть может, точек вида (t, 0) при ;

3) существует с > 0, такое, что множество ограничено и при всех ;

4) существует функция при , такая, что справедливо неравенство

при некоторых > 0 и > 0, причем в области удовлетворяет условию Липшица

5) справедливо неравенство

Тогда движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке в начальный момент оканчивается в точке х = 0 в некоторый момент времени , где .

Замечание 1.1 [33] Если = +, то функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.4).

Проведем дальнейшее развитие результатов работы [33]. Поставим задачи равномерного синтеза и синтеза управления равномерного по на конечном отрезке.

Определение 1.2 Задача равномерного синтеза состоит в нахождении управления , такого, что существуют число и число , такие, что любое движение, начинающееся в произвольной точке , в любой начальный момент времени , попадает в заданную точку при некотором

Определение 1.3.3адача синтеза управления равномерного по состоит в нахождении управления , такого, что для любого найдутся число и число , такие, что любое движение, начинающееся в точке в начальный момент времени , попадает в заданную точку х = 0 при некотором По отношению к задаче синтеза управления можно поставить задачу о выборе управляющего воздействия с точки зрения наилучшего качества переходного процесса, состоящего в достижении минимума функционала

где щ - некоторая непрерывная неотрицательная скалярная функция переменных , характеризующая качество переходного процесса, число не задано.

Выбор в конкретной прикладной задаче проводится с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностей формы или способа решения задачи.

Пусть есть движение, порождаемое управляющим воздей - ствием а - движение, порождаемое управляющим воздействием .

Используя введенные выше обозначения, проведем постановку задачи оптимального синтеза.

Определение 1.4 Задача оптимального синтеза состоит в нахождении управляющего воздйствия , решающего задачу синтеза управления на конечном отрезке и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу, для всех выполняется неравенство

? ,

при условиях

3амечание 1.2 Область в определении 1.4 принята независимой от . Возможны и другие варианты постановки задачи об оптимальном синтезе. Например, с зависимостью от , т.е. когда

Определение 1.5 Задача равномерного оптимального синтеза соcтоит в нахождении управляющего воздействия , решающего задачу равномерного синтеза управления на конечном отрезке, и оптимального по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу.

Соответственно определению 1.3 можно ввести задачу oптимального синтеза равномерного по .

Будем рассматривать также задачи о стабилизации и равномерной стабилизации в следующей классической форме из [60].

Определение 1.6. [60] 3адача о стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при .

Определение 1.7 [60] Задача о равномерной стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы равномерно асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при , с некоторой областью равномерного движения .

Делись добром ;)