§ 2. Задачи синтеза управления для автономной управляемой системы

Пусть возмущенное движение управляемой системы описывается уравнениями

(2.1)

где - n-мерный фазовый вектор, - m-мерный вектор управления, - вектор-функция.

Пусть есть класс управляющих воздействий , которые могут быть построены на основе обратной связи и удовлетворяют условиям Так как задача синтеза рассматривается для автономной системы, то за начальный момент времени можно принять , а ее решения определить в виде .

Допустим, что , есть некоторое выбранное управ - ление, под действием которого уравнения управляемого движения (2.1) принимают вид

(2.2)

Будем полагать, что движение определено и единственно при t 0 для каждой точки .

Пусть , есть скалярная функция, непрерывно дифференцируемая в области Г, за исключением, может быть, точки х = 0 и множества

В точках можно определить производную в силу системы (2.2)

Введем класс функций типа Хана [94], , если есть непрерывная, строго монотонно возрастающая функция со значением . Определим подкласс , такой, что если , то при > 0 выполняется неравенство

,

т.е. интеграл сходится.

Проиллюстрируем методику решения задачи 1.2 в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть для системы (2.2) можно найти функцию Ляпунова и управляющее воздействие , такие, что:

1) для всех выполняется соотношение , при этом только при х = 0;

2) функция

Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Доказательство. Покажем, что синтез управления является устойчивым, т.е. покажем, что при для любого > 0 существует > 0, такое, что , если и , если , или .

Возьмем любое . Обозначим

Наименьшее значение достигается, так как функция непрерывна и положительна при согласно условию 1) теоремы.

В качестве выберем такое число, что

Из непрерывности функции и условия следует, что такое число обязательно найдется.

Введем функцию Условие 2) теоремы означает, что функция не возрастает вдоль ре - шений системы (2.2) при управляющем воздействии . Отсюда, при и или получим

следовательно, для всех .

Пусть движения (2.2) из области ограничены и - какое-либо движение.

Вычислим производную от функции по t в силу системы (2.2) на движении . Имеем по условию 2) теоремы

(2.3)

Из условия (2.3) следует, что монотонно убывает, и, будучи ограниченной снизу, при , где - конечное число, или

. Покажем, что имеет место первый случай, . Интегрируя неравенство (2.3) от 0 до t, получаем

(2.4)

Из сходимости интеграла в правой части неравенства следует, что t-ограничено, . Поэтому при . Переходя в неравенстве (2.4) к пределу при , получаем

(2.5)

Значит, для любой начальной точки существует время Т, , такое, что при t = Т для любого движения имеем . Так как только при х = 0, следовательно, за конечное время управление переводит точки некоторой области в точку х = 0.

Теорема доказана.

Замечание 2.1 Для автономной системы (2.2) управляющее воздействие решает задачу равномерного синтеза на конечном отрезке. Действительно, для ограниченной области функция JIяпунова имеет оценку . Поэтому в неравенстве (2.5) имеем

Проведем решение задачи синтеза управляющего воздействия на конечном интервале времени на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.

Теорема 2.2 Предположим, что можно найти функцию Jlяпунова и управление , такие, что выполнены условия:

1) производная функции при в силу системы (2.2)

2) точка х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчива относительно множества

Тогда х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво, а возмущенное движение попадает на множество за конечный промежуток времени.

Если же вместо условия 2) выполнено условие

2) движение, начинающееся на множестве, попадает в точку х = 0 за конечный отрезок времени.

Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Доказательство. Из условий 1) и 2) теоремы следует, что решение х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво [17].

Пусть - область притяжения, - движение. По условию 2) на этом движении для функции имеем

(2.6)

Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка

3начит, существует время , такое, что при любое выбранное движение попадает на множество

Допустим, что вместо условия 2) выполняется условие 2) теоремы.

Пусть есть точка, в которую попадает движение в момент Соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 2) теоремы. Так как

за время движение из точки попадает в точку х = 0.

Теорема доказана.

Рассмотрим задачу об оптимальном синтезе управления системы (2.1) с минимизируемым функционалом

(2.7)

где - непрерывная неотрицательная функция.

Введем выражение

Имеет место следующая теорема об оптимальном синтезе.

Теорема 2.3 Предположим, что существуют функция и управляющее воздействие , , такие, что выполнено условие 1) теоремы 2.1, а также:

2) выполнено неравенство

3) для всех выполняется соотношение

4) для любого , в области Г справедливо неравенство

Тогда решает задачу оптимального синтеза.

Доказательство. Для производной функции в силу системы (2.2) из условий 2) и 3) теоремы находим

(2.8)

Значит, по теореме 2.1, управляющее воздействие решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Покажем, что управляющее воздействие доставляет минимум функционалу (2.7) по сравнению с другими воздействиями, решающими эту задачу.

Итак, управление решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке. Значит, в конечный момент времени движение системы (2.2) для любых попадает в точку х = 0. Следовательно,

Для каждого движения при управляющем воздействии с начальной точкой из условия 3) теоремы следует, что имеет место соотношение

Пусть есть любое другое управляющее воздействие, такое, что, порождаемое им управляемое движение с начальной точкой попадает в точку х = 0 при . Значит, . Так как , то . Из условия 4) теоремы будем иметь

(2.9)

Тем самым теорема доказана.

Теорема 2.4 Результат теоремы 2.3 сохраняется, если можно найти функцию JIяпунова и управляющее воздействие , такие, что в области выполнены условия 2),

3) и 4) теоремы 2.3, а также:

1) движения системы (2.2) из некоторой области ограничены областью

5) движения, начинающиеся на множестве попадают в точку х = 0 за конечный отрезок времени.

Доказательство. Пусть - какое-либо движение системы (2.2) при управляющем воздействии .

Если , тогда соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 5) теоремы. При этом из определения функции теоремы следует, что на этом движении , т.е. движение при .3начение функционала на этом движении, так как в силу .

Если , тогда по условию 1) теоремы соответствующее движение ограничено при всех , и на этом решении для функции согласно условию 2) теоремы имеем

Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка

Для любого другого , решающего задачу синтеза, как и в теореме 2.3, найдем, что (см. неравенство (2.9)).

Тем самым теорема доказана.