3. Расчетная часть
Задача 1. Найти действительные корни уравнения методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.
Нахождение приближенных значений действительных корней включает в себя:
а) определение их числа;
б) отделение корней, т.е отыскание достаточно малых промежутков в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения;
с) вычисление корней с заданной точностью.
f(x) = х3 -4х2 +6х -3
Определим число корней уравнения графическим способом. Для этого преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:
х3 = 4х2-6х +3
Построив графики функций f1(x) = х3 f2(x) = 4х2 -6х +3, определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0,9 < х < 1,2
Метод Ньютона. Определим поведение первой и второй производной функции f(x) на интервале уточнения корня.
Для функции f(x) = х3 -4х2 +6х -3 имеем:
f `(x) = 3х2 -8х +6; f `(0,9) = 1,23; f `(1,2) = 0,72;
f ``(x) = 6x - 8; f ``(0,9) = -2,6; f ``(1,2) = -0,8.
В качестве начального приближения выберем левую границу интервала, х(0) = 0,9.
Дальнейшие вычисления производим по формуле:
f(x(k)) = х3(k)-4х2(k) +6х(k) -3, f `(x(k)) = 3х2(k) -8х(k) +6.
Итерации завершаются при выполнении условия | х(к+1) - х(к) | < е.
Результаты вычислений занесем в таблицу:
k |
х(k) |
f(x(k)) |
f `(x(k)) |
-f(x(k))/f `(x(k)) |
|
0 |
0,9 |
-0,111 |
1,23 |
0,0902439 |
|
1 |
0,95 |
-0,052625 |
1,1075 |
0,0475169 |
|
2 |
0,98 |
-0,020408 |
1,0412 |
0,01960046 |
|
3 |
0,985555 |
-0,01466 |
0,987424 |
-0,01484 |
|
4 |
0,995555 |
-0,00446 |
0,995733 |
-0,00448 |
|
5 |
0,99999 |
-0,000001 |
0,99999 |
0,000001 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
х= 1
Метод простой итерации. Уравнение f(x) = х3 -4х2 +6х -3 можно записать в виде
х = .
За основной интервал возьмем (0,9;1,2), положим
ц (х) = .
1) ц (х) [0,9; 1,2] при х [0,9; 1,2]
2) ц` (х) = .
В качестве начального приближения положим х(0) = (0,9+1,2) / 2=1,05
Вычисляем последовательные приближения х(k) с одним запасным знаком.
k |
х(k) |
ц (x(k)) |
|
0. |
1,05 |
1,042063 |
|
1. |
1,04 |
1,033589 |
|
2. |
1,03 |
1,025146 |
|
3. |
1,02 |
1,016732 |
|
4. |
1,01 |
1,00835 |
|
5. |
1,0001 |
1,000083 |
|
6. |
1 |
1 |
х=1
Задача 2. Вычислить приближенное значение интеграла
По формуле: а) трапеции (n=10); б) Симпсона (n=10); в) Гаусса (n=5);
а) трапеции (n=10)
Xi |
Yi |
|
-1 |
2,236068 |
|
0 |
2,44949 |
|
1 |
2,645751 |
|
2 |
3,741657 |
|
3 |
5,744563 |
|
4 |
8,3666 |
|
5 |
11,44552 |
|
6 |
14,89966 |
|
7 |
18,68154 |
|
8 |
22,75961 |
|
9 |
27,11088 |
Формула трапеций:
б) Симпсона (n=10)
- формула Симпсона или формула парабол.
в) Гаусса (n=5);
I =
Абсциссы t1 и коэффициенты Ai квадратурных формул Гаусса при n=5,
При вычислении интеграла следует сделать замену переменной
.
тогда формула Гаусса будет иметь вид
где .
Решение.
Сделаем замену переменной
Находим новые пределы интегрирования
х |
-1 |
9 |
|
-1 |
1 |
По формуле Гаусса при n=5 находим
Затем по формуле Гаусса при n=5 находим
I 5[ A1f(t1) + A2f(t2) + A3f(t3) + A4f(t4) + A5f(t5) ] = 5(0,573067508+ 1,373591893+ 4,759665929+8,368935366+5,931916724)= 105,035887
Задача 3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона для таблично заданной функции:
х |
1,6 |
3,1 |
5,0 |
8,4 |
|
f (x) |
3,05 |
4,74 |
6,25 |
5,71 |
Интерполяционный многочлен Лагранжа
L4 (x) = + +
+ + =
= -0,0879х3+1,45х2 -7,34х +11,44 + 0,314х3 - 4,71х2 + 19,9х - 21,1 -
- 0,285х3 + 3,73х2 -11,25х + 10,46 + 0,047х3 - 0,46х2 + 1,34х -1,17 =
= - 0,012х3 - 0,01х2 + 2,65х -0,37
L4(x)= - 0,012х3 - 0,01х2 + 2,65х -0,37
Интерполяционный многочлен Ньютона
у10 = = 1,13, у21 == = 0,79,
у32 === -0,16,
у210 === -0,1, у321 = = =-0,18,
у3210 = = = -0,011.
У= 3,05 + 1,13(х - 1,6) + 0,011(х - 1,6)(х - 3,1)(х - 5) =
= 0,011x3-0,11x2+1,443x+0,9692
Задача 4. Нахождение оценок параметров линейной y=a0+a1x и квадратичной y=a0+a1x+a2x2 моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений (xi;yi), i= 1,2,…,5, заданной таблицей:
x |
- 2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
0,45 |
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,65 |
Будем считать, что min эмпирической формулы выбран, и ее можно представить в виде
(3.1)
где ц - известная функция, а0, а1,…., аm - неизвестные постоянные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках xi равны
Рассмотрим способ определения параметров эмпирической формулы - метод средних. Он состоит в том, что параметры а0, а1,…., аm зависимости (3.1) определяются с использованием условия равенства нулю суммы отклонений
во всех точках хi:
(3.2)
Путем группировки отклонений еi,разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например,
е0+ е1 + е2 =0,
е3 + е4 + е5 + е6 =0
еn-1 + еn =0
Решая эту систему уравнений, можно найти неизвестные параметры.
у=а0+а1х
Воспользуемся методом средних:
Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем его расщепления:
Вычитаем из второго уравнения первое, получаем
8,5а1=0,5
а1=0,059; а0=0,5
-эмпирическая формула,
Проверим: х=3
(3.3)
Воспользуемся методом средних и запишем уравнение (3.2) для всех точек:
е1 + е2 +е3 + е4 + е5 =0,
запишем вместо этого систему трех уравнений:
е1 + е2+ е3=0,
е4 + е5 =0
е1 + е2=0
Используя выражение (3.3) и табличные данные, получаем
Или окончательно:
Решим эту систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
а2=0,004; а1=0,052; а0=0,494
-эмпирическая формула
Проверим:
х=1;
- Введение
- 1. Общая теоретическая часть
- 1.1 Действия с приближенными величинами
- 1.2 Основные численные методы
- 1.2.1 Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- 1.2.2 Интерполяция функций
- 1.2.3 Метод наименьших квадратов и его применение
- 1.2.4 Численное интегрирование
- 1.2.5 Другие задачи, решаемые численными методами
- 2. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей
- 3. Расчетная часть
- Заключение
- 1.1. Математическое моделирование и численные методы
- Решения типовых математических задач численными методы
- 7.3. Численные методы решения уравнений,
- Численные методы построения математических моделей
- 6.1 Математические модели и численные методы решения задач в различных предметных областях
- §8. Математические модели и численные методы.