1.1 Действия с приближенными величинами

Измерить или вычислить какую-либо величину абсолютно точно не всегда возможно. Поэтому в вычислительной практике преимущественно имеют дело не с точными значениями величин, а с их приближенными значениями.

Под приближенным значением величины понимают значение, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее последнее в вычислениях. При решении практических задач приходится не только приближенно находить значения величин, входящих в данную формулу и производить над ними указанные в формуле действия, но и оценивать возможные погрешности, допущенные как при определении числовых значений отдельных величин, так и при подсчете окончательного результата.

При работе с приближёнными величинами приходится решать следующие задачи:

- давать математические характеристики точности приближённых величин;

- оценивать точность результата, когда известна точность исходных данных;

- находить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата;

- согласовывать точность исходных данных с тем, чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычислении одних данных, если другие данные слишком грубы;

Определение: абсолютная погрешность - это абсолютная величина разности между точным значением величины и её приближённым значением :

 (1.1)

Здесь следует различать два случая:

- точное значение числа нам известно, что на практике очень редко, тогда пользуемся формулой (1.1).

- точное значение числа неизвестно, тогда вводят понятие предельной абсолютной погрешности.

Определение: предельной абсолютной погрешностью приближённого числа называют всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Таким образом, если - предельная абсолютная погрешность приближённого числа , то

(1.2)

отсюда следует, что

(1.3)

Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи.

Понятия абсолютной погрешности и предельной абсолютной погрешности, хотя и дают представление о точности вычислений, однако не всегда достаточны.

Определение: относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа :

 (1.4)

Поскольку точное значение величины нам часто не известно, то рассмотрим понятие предельной относительной погрешности .

Определение: предельной относительной погрешностью данного приближённого числа называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:

(1.5)

Отсюда следует, что

(1.6)

т.е. (1.7)

но, как известно:

(1.8)

Сопоставление формул (1.7) и (1.8) даёт соотношение между предельной абсолютной погрешностью и предельной относительной погрешностью :

(1.9)

Из этой формулы иногда выражают и пишут:

 (1.10)

Вышеизложенная теория погрешностей основана на допущении, что -погрешности настолько малы, что их квадратами можем уже пренебрегать (на этом основано «обрезание» формулы Тейлора).

Поэтому все введённые формулы теряют силу, если эти условия нарушены. В таких случаях нужно использовать и квадратичные члены, чтобы получить более точную теорию.

Но надо учитывать, что в этом случае формулы значительно усложняются.