3. Расчетная часть

Задача 1. Найти действительные корни уравнения методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.

Нахождение приближенных значений действительных корней включает в себя:

а) определение их числа;

б) отделение корней, т.е отыскание достаточно малых промежутков в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения;

с) вычисление корней с заданной точностью.

f(x) = х³ -4х² +6х -3

Определим число корней уравнения графическим способом. Для этого преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

х³ = 4х²-6х +3

Построив графики функций f₁(x) = х³ f₂(x) = 4х² -6х +3, определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0,9 < х < 1,2

Метод Ньютона. Определим поведение первой и второй производной функции f(x) на интервале уточнения корня.

Для функции f(x) = х³ -4х² +6х -3 имеем:

f `(x) = 3х<sup>2</sup> -8х +6; f `(0,9) = 1,23; f `(1,2) = 0,72;

f ``(x) = 6x - 8; f ``(0,9) = -2,6; f ``(1,2) = -0,8.

В качестве начального приближения выберем левую границу интервала, х⁽⁰⁾ = 0,9.

Дальнейшие вычисления производим по формуле:

f(x^(k)) = х^3(k)-4х^2(k) +6х^(k) -3, f `(x^(k)) = 3х^2(k) -8х^(k) +6.

Итерации завершаются при выполнении условия | х^(к+1) - х^(к) | < е.

Результаты вычислений занесем в таблицу:

х= 1

Метод простой итерации. Уравнение f(x) = х³ -4х² +6х -3 можно записать в виде

х = .

За основной интервал возьмем (0,9;1,2), положим

ц (х) = .

1) ц (х) [0,9; 1,2] при х [0,9; 1,2]

2) ц` (х) = .

В качестве начального приближения положим х⁽⁰⁾ = (0,9+1,2) / 2=1,05

Вычисляем последовательные приближения х^(k) с одним запасным знаком.

х=1

Задача 2. Вычислить приближенное значение интеграла

По формуле: а) трапеции (n=10); б) Симпсона (n=10); в) Гаусса (n=5);

а) трапеции (n=10)

Формула трапеций:

б) Симпсона (n=10)

 - формула Симпсона или формула парабол.

в) Гаусса (n=5);

I =

Абсциссы t₁ и коэффициенты A_i квадратурных формул Гаусса при n=5,

При вычислении интеграла следует сделать замену переменной

.

тогда формула Гаусса будет иметь вид

где .

Решение.

Сделаем замену переменной

Находим новые пределы интегрирования

По формуле Гаусса при n=5 находим

Затем по формуле Гаусса при n=5 находим

I 5[ A₁f(t₁) + A₂f(t₂) + A₃f(t₃) + A₄f(t₄) + A₅f(t₅) ] = 5(0,573067508+ 1,373591893+ 4,759665929+8,368935366+5,931916724)= 105,035887

Задача 3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона для таблично заданной функции:

Интерполяционный многочлен Лагранжа

L₄ (x) = + +

+ + =

= -0,0879х³+1,45х² -7,34х +11,44 + 0,314х³ - 4,71х² + 19,9х - 21,1 -

- 0,285х³ + 3,73х² -11,25х + 10,46 + 0,047х³ - 0,46х² + 1,34х -1,17 =

= - 0,012х³ - 0,01х² + 2,65х -0,37

L₄(x)= - 0,012х³ - 0,01х² + 2,65х -0,37

Интерполяционный многочлен Ньютона

у₁₀ = = 1,13, у₂₁ == = 0,79,

у₃₂ === -0,16,

у₂₁₀ === -0,1, у₃₂₁ = = =-0,18,

у₃₂₁₀ = = = -0,011.

У= 3,05 + 1,13(х - 1,6) + 0,011(х - 1,6)(х - 3,1)(х - 5) =

= 0,011x³-0,11x²+1,443x+0,9692

Задача 4. Нахождение оценок параметров линейной y=a₀+a₁x и квадратичной y=a₀+a₁x+a₂x² моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений (x_i;y_i), i= 1,2,…,5, заданной таблицей:

Будем считать, что min эмпирической формулы выбран, и ее можно представить в виде

(3.1)

где ц - известная функция, а₀, а₁,…., а_m - неизвестные постоянные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках x_i равны

Рассмотрим способ определения параметров эмпирической формулы - метод средних. Он состоит в том, что параметры а₀, а₁,…., а_m зависимости (3.1) определяются с использованием условия равенства нулю суммы отклонений

во всех точках х_i:

(3.2)

Путем группировки отклонений е_i,разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например,

е₀+ е₁ + е₂ =0,

е₃ + е₄ + е₅ + е₆ =0

е_n-1 + е_n =0

Решая эту систему уравнений, можно найти неизвестные параметры.

у=а₀+а₁х

Воспользуемся методом средних:

Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем его расщепления:

Вычитаем из второго уравнения первое, получаем

8,5а₁=0,5

а₁=0,059; а₀=0,5

-эмпирическая формула,

Проверим: х=3

(3.3)

Воспользуемся методом средних и запишем уравнение (3.2) для всех точек:

е₁ + е₂ +е₃ + е₄ + е₅ =0,

запишем вместо этого систему трех уравнений:

е₁ + е₂+ е₃=0,

е₄ + е₅ =0

е₁ + е₂=0

Используя выражение (3.3) и табличные данные, получаем

Или окончательно:

Решим эту систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

а₂=0,004; а₁=0,052; а₀=0,494

-эмпирическая формула

Проверим:

х=1;