2.3 Теорема Таубера

Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

(6)

то и

Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала

предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.

Имеем при любом натуральном N

так что:

Взяв произвольно малое число , положим

Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что

. Тогда

Что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим

так что

и затем

(7)

Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что

. (8)

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

С другой стороны,

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

Что и завершает доказательство теоремы.

Глава 3. Метод средних арифметических