§4. Сопряженные октавы и их свойства
Определение. Если дана октава
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
то октава
= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK
называется сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна = u- ve.
Свойства сопряженных октав:
1) р + = 2а R (выводится непосредственным сложением октавы
р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
с сопряженной ей октавой).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2) w=w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
В самом деле:
w=(u+ ve)(u- ve) = (uu -(-)v)+(-vu+vu)e = (uu+ )+(-vu+vu)e =(|u|2 + |v|2) + 0e = |u|2 + |v|2.
Здесь и и v кватернионы
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
А так как
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
то w=|u|2 + |v|2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
Аналогично доказывается равенство
w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
3) w= w= а R.
4) =+
(вычисление левой и правой частей равенства дает
одинаковые значения).
В самом деле:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K);
левая часть:
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K);
правая часть:
= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);
=( a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K);
+=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).
Отсюда следует, что
:= +.
5) =.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы.
Так как
w w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 - v) + (v1u+vu1)e,
то
= + (v1u+vu1)e= (u1u -v) - (v1u+vu1)e.
С другой стороны:
= (u1 - v1e) (u - ve) = (u1 u -(- (-v1))+(- vu1 -v1) = (u1u -v1) - (vu1 + v1u)e.
В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.
6) w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1) R,
Если
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы. Так как
w=(u+ ve) (u1 - v1e) = (u u1+v)+(- v1u+ v1)e = (u u1+v)(vu1 -v1u)e
а w1=( u1+ v1e) (u - ve) = (u1u+ v1) + (-vu1+v1u)e,
то сложив эти два равенства, получим:
w+ w1= (u u1+v+u1u+ v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u u1+u1u +v + v1) + 0e = u u1+u1u +v + v1 .
В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:
u u1+u1u =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
v + v1 = 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),
u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Тогда из последних равенств следует
w+ w1= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
4.1 Модуль октавы
Определение. Модулем октавы
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
называется
Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно,
|w| = .
Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w=w. Модуль октавы обладает свойствами:
1) |w| ? 0 и |w| = 0 w=0;
2) |w w1| = |w|*|w1|.
Действительно,
|w w1|2 = (w w1)() = (w w1) () = w(w1*)= w|w1|2= |w1|2 w= |w1|2|w|2,
Откуда
|w w1| = |w||w1|
Равенство |pq| = |p| |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) () = (aa1 - bb1 - cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1 - DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 - c1d - A1B + B1A + C1D - CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 + b1d - a1c + ac1 - b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2 +(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 +
(a1b + b1a + c1d - d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c + c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c - c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2.
Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.
Если
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
- чисто мнимая октава, то
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ? 0,
т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.
Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава
bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, то
w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.
Если это выражение есть действительное число и а ? 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ? 0. Следовательно, только октавы вида
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,aR, w/2? 0. Тогда сопряженная ей октава = а -p /.
В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что
(u; v)-1 = ; -.
Так как (и; v) = и + ve, то тогда
(и + ve)-1 = -.
Если
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
это означает, что
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1== ,
если
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
Итак, октава, обратная октаве w, есть октава .
Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:
(ww1) 1 = w(w11).
Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 K, Тогда:
(ww1)1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(u1 - v1e) = ((uu1 -v)+ (v1u+ v u1)e)(u1 - v1e) = ((uu1 -v)u1+ (v1u+ v u1))+(-v1(uu1 -v)+ (v1u+ v u1)1)e = (uu1 u1 -vu1+ v1u+ vu1) +(-v1uu1 +v1v + v1u u1+ vu1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.