1.2 Теорема про независимость порядка линии от выбора аффиной системы координат

Формулировка теоремы:

Понятие алгебраической линии, а также порядок линии не зависят от выбора аффинной системы координат.

Возьмем на плоскости аффинную систему координат . Пусть в этой системе координат линия у определяется уравнением (1), где F( х, у) - многочлен степени n. Зададим другую аффинную систему координат Координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе . выражаются через ее координаты x, у в системе :

,(2)

.

Чтобы получить уравнение линии г в системе , надо в уравнении (1) заменить х, у их выражениями по формулам (2). Получим уравнение

. (3)

Многочлен F(x, y) есть сумма членов вида . После замены x, y их выражениями (2) вместо члена получим выражение:

. (4)

Таким образом, G (x, у) есть сумма выражений вида (4), и потому G (x, у) - многочлен от переменных x, у. Итак, понятие алгебраической линии не зависит от выбора аффинной системы координат.

Докажем теперь, что G(x, у) - многочлен степени n. Пусть m- степень этого многочлена. Если в выражении (4) раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим сумму членов вида , где в каждом таком члене . Отсюда следует, что m ? n. Будем теперь считать, что - старая система координат, а - новая. Тогда по доказанному n ? m. Итак, m ? n, n ? m, m=n.

Замечание: разбиение множества линий плоскости наалгебраические и неалгебраические основано на использовании аффинной системы координат. Для такого разбиения множества линий система полярных координат непригодна. Например на рисунке 1 прямая l в полярной системе координат имеет уравнение , где а=ОА. Это уравнение не является алгебраическим. Уравнение той же прямой l в системе является алгебраическим: .[1]

Рисунок 1