4 .3. Алгебраический метод определения симметричных автоколебаний и их устойчивости

Рассмотрим систему с одной нелинейностью с линейной частью, обладающей фильтрующими свойствами.

J(A)

g x y

Рис. 4.3.1

Уравнение нелинейности y=f(x); линейной части для свободного движения: (4.3.1)

Уравнение замкнутой системы:

При условии, что x(s) изменяется по гармоническому закону, после гармонической линеаризации можно записать:

(4.3.2)

С учётом (4.3.2) можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы в виде (4.3.3)

или после подстановки (4.3.1) в виде

(4.3.4)

В выражении (4.3.4), выделяя действительную и мнимую части, получим:

(4.3.5)

Приравнивая действительную и мнимую части нулю, получаем систему

. (4.3.6)

Затем система уравнений (4.3.6) решается относительно двух неизвестных : амплитуды А и частоты  автоколебаний

Если амплитуда и частота получатся комплексными или мнимыми числами, то периодический процесс в системе отсутствует, а если действительными числами – то присутствует.

После определения параметров периодического процесса необходимо проверить его устойчивость. Данная задача в системе , описываемой уравнением высокого порядка весьма сложна, поэтому воспользуемся приближенными методами. Дадим малые отклонения А и  от их значений в периодическом режиме А+ΔА и ω+Δω.

Исходное движение . (4.3.7)

Варьированное движение (4.3.8)

Выражение (4.3.8) описывает колебательный процесс вблизи исходного периодического режима (4.3.7).

Из анализа (4.3.8) следует: для устойчивости автоколебаний необходимо, чтобы параметрыА и  имели одинаковые знаки. При А> 0 и > 0 варьированный процесс будет затухать и стремиться к исходному. При А< 0 и < 0 уменьшенный варьированный процесс будет расходиться и стремиться к исходному.

Для увязывания этого условия с параметрами линейной части и нелинейного элемента (для вывода критерия) воспользуемся символической формой записи периодического режима.

Исходный режим (4.3.5) представим в виде:

. (4.3.9)

Варьированный режим

(4.3.10)

Аналогично выражению (4.3.5) для варьированного движения можно записать:

(4.3.11)

Разложим (4.3.11) в ряд Тейлора в окрестности А и , рассмотрим только линейный член и получим:

(4.3.12)

* – означает подстановку значений А и ω, соответствующих исследуемому автоколебательному режиму.

Выделим в выражении (4.3.12) мнимую и действительную часть, почленно приравняем к 0, исключим из полученных уравнений Δω и, разрешив эту систему относительно , найдем в результате выражение, связывающее параметры ζ и ΔА.

(4.3.13)

Поскольку знаменатель функция четная, то знак ζ зависит только от числителя, тогда для совпадения знаков параметровА и  критерий устойчивости автоколебаний приобретает вид:

(4.3.14)

Для определения автоколебаний алгебраическим методом необходимо:

1. записать характеристическое уравнение замкнутой системы;

2. выделить в нем действительную и мнимую части и приравнять их к нулю;

3. разрешить эту систему относительно амплитуды А и частоты автоколебаний ;

4. найти частные производные действительной и мнимой частей по А и  и подставить в выражения частных производных найденные значения А и .

5. проверить выполнение условия (4.3.14)