1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость

Этот метод применим для систем с уравнениями не более второго порядка.

Переходные процессы, вызванные какими-либо начальными отклонениями координат (при отсутствии внешних воздействий), описываются нелинейными дифференциальными уравнениями динамики в нормальной форме

(1.2.1)

где x_i – координаты состояния системы, -нелинейные функции.

Если координаты состояния x_i принять за координаты n-мерного пространства, то любой комбинации переменных соответствует определенное состояние или фаза системы, поэтому пространство называют фазовым.

x_3,…, x_n

M

ε

x₂

x₁

Точку М в n-мерном пространстве, характеризующую действительное (настоящее) состояние системы, называют изображающей. Изменению состояния системы соответствует движение точки по траектории, называемой фазовой. Совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом системы.

Для асимптотически устойчивых систем точка М движется по фазовым траекториям к началу координат.

В случае устойчивых систем точка М движется в область  вокруг начала координат.

По фазовым портретам системы можно судить об устойчивости движения.

Поскольку изображение n-мерного пространства практически невозможно, то наиболее широко распространен метод фазовой плоскости (n=2). Уравнения (1.2.1) при этом имеют вид:

; (1.2.2)

; (1.2.3)

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий получим, исключая время из уравнений (1.2.2 и 1.2.3), путём деления уравнения (1.2.3) на уравнение (1.2.2)

; (1.2.4)

Большую информативность фазовых портретов даёт применение в качестве координат переменных и скорости её изменения ,причём переменная у откладывается по оси ординат.

Система уравнений (1.2.4) при этом преобразуется к виду:

Рис. 2

Фазовая плоскость с этой системой координат обладает следующими свойствами:

а) в верхней полуплоскости (рис.1.2.2) направление движения по траекториям слева направо, т.е. в сторону увеличения x, так как там скорость y>0, а в нижней полуплоскости, наоборот, – справа налево

б) ось x пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, т.к. в точках пересечения скорость y=0, т.е. имеет место максимум или минимум величины x.

Рис.1.2.2