Вопрос 1

Линейные группы

Существуют группы, состоящие не из всех биекций некоторого множества Х, а сохраняющие некоторую структуру, определенную на множестве Х.

Различные группы матриц относительно операции умножения называются линейными группами.

Пример 1. Множество G L_n(K) всех невырожденные матриц размера

n х n над полем Р с умножением матриц в качестве групповой операции при

n ≥ 2 образует абелеву группу. Она называется общей линейной группой.

Действительно, произведение двух невырожденных матриц будет невырожденным. ^¹

Нейтральным элементом будет единичная матрица, которая является невырожденной, так как ее определитель всегда равен 1.

Всякая невырожденная матрица обладает обратной матрицей, также невырожденной, так как определитель обратной матрицы вычисляется как:

где det A ≠ 0.

Наконец, закон ассоциативности, выполняясь для всех матриц, справедлив, в частности, для матриц невырожденных.

Пример 2 Специальная линейная группа

SLn(K)={M GLn(K)| det M=1}

Пример 3. Множество квадратных вещественных симметрических матриц фиксированного порядка образуют группу с групповой операцией сложения.

Так как при сложении любых двух симметрических матриц всегда получаем только симметрическую матрицу, то групповая операция сложения не выводит элементы за пределы группы.

Ассоциативность выполняется в силу ассоциативности сложения. Единичный элементом является нулевая матрица. Обратным элементом для матрицы А является, очевидно, матрица –А, тоже симметрическая. Коммутативность также выполнена в силу коммутативности операции сложения.

Поэтому множество квадратных вещественных симметрических матриц фиксированного порядка образуют группу с групповой операцией сложения образуют абелеву группу.

Пример 4. Группа верхних треугольных матриц образует группу относительно операции умножения матриц.

Заметим, что ассоциативность умножения матриц следует из общей ассоциативности умножения, нейтральным элементом является единичная матрица, а обратным – обратная, которая существует для любой квадратной матрицы и находится по формуле АА^-1 = Е. Остается доказать, что умножение двух верхних треугольных матриц снова дает верхнюю треугольную матрицу. А это действительно так, поскольку каждый элемент матрицы-перемножения двух матриц

ищется по формуле

А так как суммироваться будут только ненулевые элементы, то матрица – произведение будет иметь такой же вид, как и исходные.

Пример 5

Содержание