logo
Вопрос 1

Конечные неабелевы группы

Конечная группа называется неабелевой, если не выполняется аксиома коммутативности. Рассмотрим следующие примеры конечных неабелевых групп.

Пример 1. Множество всех невырожденных матриц порядка n над полем Р с операцией умножения образует группу. Действительно, произведение двух невырожденных матриц будет невырожденным, единичная матрица является невырожденной, всякая невырожденная матрица обладает обратной матрицей, также невырожденной, закон ассоциативности, выполняясь для всех матриц, справедлив, в частности и для невырожденных.

Пример 2. Множество квадратных матриц порядка n, в каждой строке и каждом столбце которых ровно один ненулевой элемент, равный ± 1, относительно умножения.

В самом деле, умножение подобных матриц, снова дает матрицу из группы:

Проверим аксиомы группы:

      1. Ассоциативность:

      1. Нейтральный элемент: единичная матрица (принадлежит данной группе)

      1. Обратный элемент: обратная матрица также будет принадлежать данной группе, так как определитель любой матрицы из группы равен ± 1, алгебраическое дополнение будет равно либо 0, либо 1.

      1. Коммутативность не выполняется:

Пример 3. Совокупность четных подставок n- ой степени составляет по умножению группу, притом конечного порядка ½ n!

Четность подстановки совпадает с четностью числа транспозиций, входящих в разложение этой подстановки в произведение транспозиций. Поэтому произведение двух четных подстановок само четно: в самом деле, представление АВ в виде произведения транспозиций мы получим, записав соответствующие разложения для А и В одно за другим.

Путем проверки можно выяснить, что умножение будет ассоциативным. Четность тождественной подстановки очевидна. Наконец, четность подстановки А-1 при четной А следует хотя бы из того, что записи этих подстановок можно получить одну за другой переменой мест верхней и нижней строк, т.е. они содержат равное число инверсий.

Yandex.RTB R-A-252273-3