Группы движений

Движением (перемещением) плоскости называется такое преобразование, которое сохраняет расстояния. Другими словами, преобразование F называется перемещением, если для любых двух различных точек А и В плоскости справедливо соотношение | АВ | = | А'В' |, где А' = F (А) и B' = F(B).

Рассмотрим плоскость с введенной на ней метрикой ρ. Биективное отображение φ: R^2→ R² называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:

Пример 1. Множество движений плоскости образуют группу Isom (R²) с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент – тождественное отображение, обратный – обратное отображение. Композиция ассоциативна.

Пример 2. Пусть F – произвольная фигура на евклидовой плоскости. Множество всех движений евклидовой плоскости, переводящих F на себя, с операцией «композиция двух движений», является группой. Эта группа называется группой симметрий фигуры F.

В группе симметрий правильного n – угольника имеется ровно 2n элементов: n вращений по часовой стрелке на углы

Вокруг его центра и n отражений относительно прямых, проходящих через центр и одну из его вершин или середину одной из его сторон. Все вращения в группе симметрий правильного n-угольника образуют подгруппу, которая называется группой вращения данного n-угольника.

Пример 3. Множество взаимно однозначных отображений множества Х на себя образует группу относительно операции композиции

Пример 4. Множество самосовмещений n-угольного диэдра

Диэдр состоит из правильной n-угольной пирамиды и ее зеркального отражения в плоскости основания. Группа самосовмещений диэдра состоит из поворотов оси пирамиды (на углы 0, _{, …,} ) и так называемых опрокидываний, т.е. поворотов на угол π вокруг каждой из осей симметрии основания диэдра, т. е. правильного многоугольника, являющегося

общим основанием обеих пирамид, составляющих диэдр. Таких осей симметрии имеется n, так что перемещений второго рода имеется тоже n.

Число всех полученных перемещений есть, таким образом, 2n.

Всякое совмещение диэдра с самим собой должно либо оставлять

на месте точки S и S' (самосовмещения первого рода), либо менять их местами (самосовмещения второго рода). Основание диэдра должно переходить при таком перемещении в самого себя.

Заметим, что произведение (т. е. последовательное осуществление) двух самосовмещений первого рода дает самосовмещение первого рода, произведение самосовмещений первого рода с самосовмещениями второго рода дает самосовмещение второго рода, а произведение двух самосовмещений второго рода дает самосовмещение первого рода.

При этом произведение двух самосовмещений, из которых одно — первого, а другое — второго рода, зависит от порядка сомножителей: если а — самосовмещение первого, а b — самосовмещение второго рода, то аb = ba^-1.

При самосовмещениях первого рода основание переходит в само себя, оставаясь в своей плоскости; оно испытывает, таким образом, поворот на один из углов: 0, _{, …,} .

Таким образом, и все перемещение диэдра оказывается поворотом вокруг оси диэдра на тот же угол. Итак, самосовмещений первого рода имеется (включая тождественное самосовмещение, т. е. покой) ровно n.

Эти самосовмещения суть не что иное, как повороты диэдра вокруг его оси на углы 0, _{, …,} .

Пусть дано некоторое вполне определенное самосовмещение второго рода, т. е. такое самосовмещение диэдра с самим собой, при котором вершины S и S' меняются местами.

Произведем после данного самосовмещения второго рода некоторое вполне определенное опрокидывание диэдра, т. е. перемещение, заключающееся в повороте диэдра на угол π вокруг одной какой-нибудь зафиксированной оси симметрии основания. Получим cамосовмещение первого рода (произведение двух самосовмещений второго рода есть самосовмещение первого рода.), т. е. поворот диэдра вокруг его оси.

Итак, всякое самосовмещение второго рода переходит после одного и того же опрокидывания в некоторое самосовмещение первого рода. Отсюда следует легко: всякое самосовмещение второго рода можно получить, производя (до или после некоторого самосовмещения первого рода) одно и то же опрокидывание.

Отсюда, далее следует, что число самосовмещений второго рода равно числу самосовмещений первого рода.т. е. n.

С другой стороны, ясно, что все опрокидывания являются самосовмещениями второго рода. Так как этих опрокидываний имеется ровно n, то ими, очевидно, и исчерпывается вся совокупность самосовмеще-

ний второго рода.

Таким образом, группа самосовмещений n-угольного диэдра есть некоммутативная группа порядка 2n, состоящая из n поворотов вокруг оси диэдра SS' и из n опрокидываний, т. е. поворотов на угол π вокруг осей симметрии основания диэдра. Все n опрокидываний получаются умножением одного из них на n поворотов диэдра вокруг его оси SS'.