logo
Вопрос 1

Бесконечные абелевы группы

Согласно определению бесконечной абелевой группы, можно выделить следующие примеры подобных групп.

Элементарные примеры:

  1. Любое (бесконечное) кольцо – абелева группа относительно операции сложения.

  2. Любое (бесконечное) поле без нуля – абелева группа относительно операции умножения ( т. к. все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению).

  3. Группы, возникающие в числовых структурах относительно операции сложения – это, например: . Это - абелевы бесконечные группы.

  4. Группы, возникающие в числовых структурах относительно операции умножения – это, например: . Это - абелевы бесконечные группы.

Пример 1. Вращения на плоскости.

Пусть множество Ф – множество всех поворотов на угол φ.

При сложении двух углов φ1 и φ2 из Ф получаем угол φ3 опять же из множества Ф φ1+ φ2= φ3. Таким образом, операция вращения на плоскости обладает групповым свойством. Проверим аксиомы группы для данной операции.

1. Ассоциативность: (φ1+ φ2)+ φ3= φ1+ (φ2+ φ3)

2. Нейтральный элемент в этом случае – поворот на угол 0 (+ 2πn)

3. Обратным элементом является поворот на угол (– φ) (+2πn)

4. Коммутативность: φ1+ φ2 = φ2+ φ1

Итак, вращения вокруг оси, перпендикулярной выбранной плоскости, образуют абелеву группу.

Пример 2. Множество векторов трехмерного пространства

Действительно, для любых векторов а, b, с векторного пространства выполняется групповое свойство, так как при сложении двух векторов снова получается вектор. Аксиомы группы:

      1. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)

  1. Нейтральный элемент: нулевой вектор 0 т.,ч. a + 0 = a

  2. Обратный элемент: a + (-a) = 0

  3. Коммутативность: a + b = b + a

Таким образом, множество векторов трехмерного пространства образуют абелеву группу по сложению.

Пример 4. Кольцо является абелевой группой по сложению (из определения кольца), обратимые ненулевые элементы любого поля по умножению также составляет абелеву группу.