Введение

Определение 1. Алгебраической операцией на множестве M называется любое отображение f : M х M → M.

Таким образом, любой упорядоченной паре (m₁, m₂) элементов m₁, m₂ из множества M ставится в соответствие однозначно определённый элемент f((m₁,m₂)) того же множества M. При этом, образ пары f((m₁,m₂)) называется результатом алгебраической операции f.

На X может быть задано, вообще говоря, много разных операций.

Желая выделить одну из них, используют скобки: (X, *), и говорят,

что операция * определяет на X алгебраическую структуру или что

(X,*) — алгебраическая структура (алгебраическая система).

Определение 2. Бинарная операция * на множестве X называется ассоциативной, если (x * y) * z = x * (y * z) для всех x, y, z из множества M; она называется коммутативной, если x * y = y * x.

Определение 3. Элемент е X называется нейтральным (или единичным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если е * x = x * е = x

для всех х X. Если е' — ещё один единичный элемент, то, как следует из определения, е' = е' * е = е. Стало быть, в алгебраической структуре (X,*) может существовать не более одного нейтрального элемента.

Определение 4. Элемент x' X называется обратимым относительно рассматриваемой бинарной операции *, если x' * x = x * x' = e для всех х X. Если x” — ещё один обратный элемент к х, то, как следует из определения,

е= x'*x x” = е*х”= (x'*x)*x”=x'*(x*x”)=x'*e=x'. Стало быть, в алгебраической структуре (X,*) может существовать не более одного обратного элемента.

Определение 5. . Множество Х называется группой, если на нем задан групповой закон (произведение элементов), который каждой паре элементов x, y из множества Х сопоставляет третий элемент этого же множества, а также определена бинарная операция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Операция ассоциативна, т.е. для каждого x, y, z из множества Х

(x * y) * z = x * (y * z)

2. Существует нейтральный элемент e Х

3. Для любого элемента х Х существует обратный элемент х^-1 Х.

Группа Х называется абелевой (или коммутативной), если соответствующая алгебраическая операция коммутативна.

Группа Х называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов, то есть | Х |< ∞.В противном случае группа называется бесконечной. Порядком конечной группы Х называется число элементов в ней | Х | .