Группы подстановок

Пусть Х – некоторое множество. Группой подстановок множества Х называется группа

G(X) = {f: X →X | f - биекция},

в которой алгебраической операцией является композиция отображений, нейтральным элементом – тождественное отображение, а обратный элемент для биекции f – это биекция f^-1 (где f^-1(f(x))=x). Элементы группы G(X) называются подстановками множества Х. Если множество Х бесконечно, то и группа G(X) – бесконечна, а если | X | > 2, то G(X) – неабелева группа.

Пример 1. Совокупность всех подстановок из трех элементов (симметрическая группа третьей степени) образует конечную неабелеву группу.

Из трех чисел 1, 2, 3 можно сделать следующие подстановки:

Каждая подстановка заключается в том, что на место числа, стоящего в верхней строчке, ставится подписанное под ним число из нижней строчки. Первая Подстановка P₀ называется тождественной, в ней каждое число остается на своем месте. Вторая подстановка P₁ заключается в том, что число 1

остается на месте, число 3 ставится на место числа 2, а число 2 — на место числа 3 и т. д.

По определению, будем считать, что перемножить две подстановки, значит последовательно произвести их одну за другой. В результате получится опять подстановка, называемая произведением двух данных подстановок. Например, перемножим P₂ и P₅. В силу первой подстановки единица заменится

двойкой, в силу второй подстановки эта двойка останется на месте; итак, после последовательного совершения обеих подстановок единица перейдет в двойку.

Точно так же после последовательного совершения обеих подстановок двойка перейдет в тройку, тройка перейдет в единицу:

Таким образом перемножаются любые две подстановки. Таблица умножения выглядит следующим образом:

Из таблицы видно, что результатом умножения любых двух подстановок снова является подстановка из числа перечисленных, значит, выполнен закон умножения группы. Проверим аксиомы группы:

1. Ассоциативность: непосредственной проверкой можно убедиться, что наше умножение удовлетворяет ассоциативности.

(P₂ • P₃) • P₄ = P₅ • P₄ = P₂

P₂ • (P₃ • P₄) = P₂ • P₀ = P₂

2. Тождественная подстановка P₀ есть единственная подстановка, удовлетворяющая условию: P₀ • P_i = P_i• P₀ = P_i для любой подстановки P_i .

3. Наконец, к каждой подстановке имеется обратная, дающая в произведении с данной тождественную подстановку: обратная подстановка к данной ставит все числа, смещенные подстановкой, на их прежние места. Чтобы в таблице умножения найти сразу подстановку, обратную к данной подстановке, надо в строчке, отмеченной слева данной подстановкой, найти элемент Р₀; в заголовке столбца, в котором лежит этот элемент, и стоит подстановка, обратная данной. Как легко видеть:

P₀^-1 = P₀, P₃^-1 = P₄,

P₁^-1 = P₁, P₄^-1 = P₃,

P₂^-1 = P₂, P₅^-1= P₅.

2. Умножение подстановок не обладает свойством коммутативности:

P₂ • P₃ = P₅

P₃ • P₂ = P₁

Итак, совокупность всех подстановок из трех элементов есть конечная неабелева группа.

Пример 2. Симметрическая группа второй степени образует конечную абелеву группу.

1). Ассоциативность: ( ) =( )

_{2). Нейтральный элемент: P0}

_{3). Обратный элемент:}

_{4). Коммутативность:}

Пример 3. Так как группа всех перестановок множества Х– это группа биекций Х→Х, то можно если взять в качестве Х множество R, мы получим бесконечное множество подстановок.