11 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Ограничимся подробно изучением таких систем, состоящих из двух и трёх уравнений. Для изучения систем с большим числом уравнений надо обратиться к дополнительной литературе.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями , независимой переменной t

(11.1)

в которой все коэффициенты ( ) являются постоянными действительными числами.

Фундаментальную систему решений системы (11.1) будем искать в виде

(11.2)

с постоянными коэффициентами и , которые надо найти. Не исключается, что эти постоянные могут быть комплексными числами.

Подставляя функции (11.2) и их производные в уравнения системы (11.1) и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при , получим

(11.3)

Система (11.3) есть однородная система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными . Из алгебры известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Таким образом, неизвестный параметр k в (11.2) должен быть корнем уравнения

, (11.4)

которое называется характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений (11.1).

Уравнение (11.4) есть алгебраическое уравнение второй степени относительно параметра k:

. (11.5)

Из алгебры известно, что такое уравнение имеет два корня k₁, k₂ с учётом их кратности. Так как коэффициенты , уравнения (11.5) есть действительные числа, то его комплексные корни входят сопряжёнными парами .

Действительные корни характеристического уравнения (11.4), т.е. алгебраического уравнения (11.5), называются собственными числами (собственными значениями) матрицы

системы дифференциальных уравнений (11.1), а соответствующие этим числам нетривиальные решения системы (11.3) – собственными векторами матрицы А.

Пусть корни k₁, k₂ вещественны (действительны) и различны (k₁ k₂); иначе говоря, матрица А имеет простой спектр. Подставляя эти корни по очереди в систему (11.3), найдём соответствующие какие-нибудь конкретные собственные векторы и . Напомним, что собственные векторы, отвечающие простому корню, определяются с точностью до постоянной величины. По формулам (11.2) найдутся четыре функции, являющиеся фундаментальной системой решений системы (11.1). Пары этих функций x₁,y₁ и x₂,y₂ будут частными решениями системы (11.1), т.к. решения искались в виде (11.2) путём подбора и . Эти два решения будут линейно независимы. Это, во-первых, следует из того, что определитель, составленный из функций, образующих фундаментальную систему решений, будет отличен от нуля (предоставляется читателю проверить это). С другой стороны, линейная независимость этих двух решений следует из алгебраического факта: система собственных векторов , простого спектра линейно независима.

Общее решение системы (11.1) в случае вещественных различных корней k₁, k₂ будет иметь вид

, (11.6)

где – произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Эта система является системой вида (11.1) с матрицей системы

.

Характеристическое уравнение (11.4) для данной системы таково:

или .

Корнями этого уравнения являются числа и . Это и есть собственные значения матрицы А.

При система (11.3) в данном примере имеет вид

Так как ранг этой системы равен единице ( ), а число n неизвестных равно двум, то и система имеет бесчисленное множество решений, одним из которых является , . Таким образом, одним из собственных векторов при является вектор . Первое частное решение исходной системы задаётся функциями x₁(t)= , y₁(t)= .

При система (11.3) имеет вид

Тогда собственным вектором является, в частности, вектор . Второе частное решение системы задаётся функциями x₂(t)= , y₂(t)= .

Найденные два решения являются линейно независимыми, т.к.

.

Следовательно, функции х₁(t) = e^-t, x₂(t) = e^4t, y₁(t) = – 2e^-t, y₂ = 3e^4t образуют фундаментальную систему решений. Тогда согласно (11.6) общее решение данной системы имеет вид

Таким образом, , , где – произвольные постоянные коэффициенты.

Пусть корни уравнения (11.4) являются комплексными. Выше отмечено, что для уравнений (11.5) с действительными коэффициентами они являются сопряжённой парой k_1,2= . При этом каждый такой корень даст одну и ту же фундаментальную систему решений.

Подставив корень k₁=a+bi в систему (11.3), найдём соответствующий вектор . По этому вектору из (11.2) найдётся фундаментальная система решений:

, .

Это означает, что из комплексного решения

соответствующего комплексному корню a + bi характеристического уравнения системы, выделены пары действительных решений

действительная и мнимая части комплексного решения, которые образуют фундаментальную систему решений. Комплексно-сопряжённый корень a – bi характеристического уравнения задаёт эту же фундаментальную систему решений.

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

или .

Корни этого уравнения таковы: . Найдём решение системы (11.3), отвечающее одному из этих корней, например, . В данном примере система (11.3) в случае этого корня имеет вид

После упрощения получаем систему

которая имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Одним из этих решений является вектор = .

Подставим корень и полученные , в (11.2). Получим решение данной системы как комплексные функции

Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы. Для выделения этих частей воспользуемся равенством

и формулой Эйлера

Тогда получим, что

Таким образом, , , , .

Действительные линейно независимые решения задаются функциями:

Эти решения и образуют фундаментальную систему.

Общее решение данной системы уравнений таково:

где – произвольные постоянные.

Построение фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений в случае кратных собственных чисел матрицы системы уравнений является значительно более сложной задачей. Разберём эту ситуацию на примере.

Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение этой системы таково:

или .

Оно имеет один двукратный корень k=3 (k₁=k₂=3). Решение системы надо искать в виде

Продифференцировав эти функции, получим

Подставляя эти функции , и их производные в данную систему, сокращая на , получим следующие равенства:

Левые и правые части этих равенств являются многочленами первой степени относительно переменной t. Приравнивая соответствующие коэффициенты этих многочленов, получим следующую систему из четырёх линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными :

После преобразований получаем систему

ранг которой равен двум и свободных неизвестных – две. В качестве двух линейно независимых уравнений можно взять, например,

Очевидно, что за базисные переменные можно взять тогда свободные переменные, которые остаются произвольными. Обозначив эти произвольные постоянные, соответственно, через С₁ и С₂, получим, что Итак, общее решение рассматриваемой системы таково:

Сделаем замечание по поводу вида, в котором ищется общее решение системы уравнений примера 3 (случай, когда характеристическое уравнение системы имеет двукратный действительный корень).

Эту систему можно свести к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами относительно одной из неизвестных функций. Сделаем это. Продифференцируем второе уравнение; получим, что . Подставим в это уравнение из первого уравнения исходной системы. Получим, что . В это уравнение подставим функцию x, найденную из второго уравнения исходной системы ( ). Окончательно имеем следующее уравнение с неизвестной функцией y(t):

Это есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого совпадает с характеристическим уравнением системы примера 3. Функции , задают фундаментальную систему уравнения общим решением которого является функция (см. тему 7). Как видно, оно совпадает с решением системы этого примера.

Изучим ещё систему трёх уравнений с тремя неизвестными функциями , , вещественной переменной t

(11.7)

где постоянные действительные числа.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

, , , (11.8)

где и – некоторые числа, которые надо определить так, чтобы функции (11.8) были решением системы (11.7).

Подставляя данные функции и их производные в уравнения системы и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при , получим систему уравнений

(11.9)

Система (11.9) есть система трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными . Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю, т. е. чтобы число было корнем уравнения

(11.10)

Уравнение (11.10) называется характеристическим уравнением для системы (11.7). Оно является уравнением третьей степени относительно и из него определяются те значения , при которых система (11.9) имеет нетривиальные (ненулевые) решения .

Из алгебры известно, что уравнение (11.10) будет иметь три корня с учётом их кратности. Комплексные корни всякого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами являются сопряжёнными парами . Поэтому уравнение (11.10) , являющееся уравнением нечётной степени (в данном случае третьей степени), будет иметь хотя бы один действительный корень .

Таким образом, относительно корней уравнения (11.10) возможны следующие ситуации:

1) все корни k₁, k₂, k₃ действительны и различны;

2)имеется пара комплексно-сопряжённых корней и один действительный корень;

3) корни действительны и один из них является двукратным;

4) один действительный трёхкратный корень.

Рассмотрим первую ситуацию, когда все корни k₁, k₂, k₃ уравнения (11.10) действительны и различны, т.е. матрица системы имеет простой спектр. Подставляя их по очереди в систему (11.9), найдём конкретные собственные векторы

, , .

В результате получим фундаментальную систему решений исходной системы (11.7):

, , ;

, , ;

, , .

Общее решение системы (11.7) можно записать в виде

(11.11)

где – произвольные постоянные.

Пример 4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для системы имеет вид

Вычислив определитель, получим уравнение третьей степени . Все корни характеристического уравнения – действительные и различные числа, а именно: , , .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем следующую алгебраическую систему уравнений:

Одним из решений этой системы будут числа: , , . Согласно (11.8) частное таково: .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем:

Одно из решений этой системы таково: , , . Частное решение имеет следующий вид: , .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем:

Одним из решений этой системы будет , , . Тогда частное решение имеет вид , .

Таким образом, найдена фундаментальная система решений.

Общее решение исходной системы примера 4 таково:

где , и – произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

Корнями характеристического уравнения являются числа , и . Один корень характеристического уравнения – действительный, а два другие – комплексно-сопряжённые.

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляем корень в систему (11.9), получаем систему для отыскания неизвестных и :

Эта система имеет множество решений. Возьмём значение , тогда , . Комплексное решение начальной системы имеет вид: , . Используя формулу Эйлера, запишем полученное решение системы в виде

Известно, что действительная и мнимая части полученного решения по отдельности представляют собой решение исходной системы. Таким образом, имеем два действительных решения исходной системы:

, ;

, .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляем в систему (11.9), получаем:

Одно из решений этой системы таково: и , . Тогда ещё одно частное решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид: , , .

Общее решение начальной системы имеет следующий вид:

где , и – произвольные постоянные.

Разберём теперь на примере ситуации 3) и 4), т.е. случаи кратных корней.

Пример 6. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для системы таково:

Корнями характеристического уравнения являются действительные числа , .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляем в систему (11.9), получаем систему для отыскания неизвестных и :

Одним из решений этой системы будет следующее решение: , , . Частное решение исходной системы имеет вид .

Найдём частные решения, соответствующие двукратному корню . Их нужно искать в следующем виде:

х = (α₁ + β₁t)e^3t,

y = (α₂ + β₂t)e^3t, (11.12)

z = (α₃ + β₃t)e^3t.

Продифференцировав эти функции, получим, что

.

Подставляя функции и их производные в заданную систему и сокращая на общий множитель e^3t, получаем следующие равенства:

β₁ + 3α₁ + 3β₁t = 5α₁ – 2α₂ – 2α₃ + (5β₁ – 2β₂ – 2β₃)t,

β₂ + 3α₂ + 3β₂t = 2α₁ + α₂ – 2α₃ + (2β₁ + β₂ – 2β₃)t,

β₃ + 3α₃ + 3β₃t = 2α₁ – 2α₂ + α₃ + (2β₁ – 2β₂ + β₃)t.

Левые и правые части этих равенств являются многочленом первой степени относительно переменной t. Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при t, получим следующую систему из шести линейных алгебраических уравнений с шестью неизвестными α₁, β₁, α₂, β₂, α₃, β₃:

β₁ + 3α₁ = 5α₁ – 2α₂ – 2α₃, 3β₁ = 5β₁ – 2β₂ – 2β₃,

β₂ + 3α₂ = 2α₁ + α₂ – 2α₃, 3β₂ = 2β₁ + β₂ – 2β₃,

β₃ + 3α₃ = 2α₁ – 2α₂ + α₃, 3β₃ = 2β₁ – 2β₂ + β₃.

После преобразований получим систему:

β₁ = 2α₁ – 2α₂ – 2α₃, β₁ = β₂ + β₃,

β₂ = 2α₁ – 2α₂ – 2α₃, β₂ = β₁ + β₃,

β₃ = 2α₁ – 2α₂ – 2α₃, β₃ = β₁ – β₂.

Из трёх уравнений правого столбца этой системы следует, что β₁ = β₂, β₃ = 0. Полагаем β₂ = С (С – произвольная постоянная), тогда и β₁ = С. После этого первые три уравнения сведутся к следующим двум:

2α₁ – 2α₂ – 2α₃ = С,

2α₁ – 2α₂ – 2α₃ = 0.

Эта система совместна лишь в случае, когда С = 0. В этом случае будет одно уравнение

α₁ – α₂ – α₃ = 0.

За базисную переменную можно взять α₁; тогда α₂ и α₃ – свободные переменные. Полагаем α₂ = С₂, α₃ = С₃ (С₂, С₃ – произвольные постоянные); тогда α₁ = С₂ + С₃. Кроме того, так как С = 0, то β₁ = β₂ = β₃ = 0. Подставляем найденные коэффициенты в (11.12), получим частные решения, соответствующие двукратному корню k = 3.

Таким образом, общее решение исходной системы таково:

где , и – произвольные постоянные.

Пример 7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

Корнями характеристического уравнения являются действительные числа , т.е. корень k = 2 является трёхкратным.

Соответствующие этому трёхкратному корню решения надо искать в виде

x = (α₁ + β₁t + γ₁t²)e^2t,

y = (α₂ + β₂t + γ₂t²)e^2t, (11.13)

z = (α₃ + β₃t + γ₃t²)e^2t.

Для определения коэффициентов функции (11.13) и их производные подставляем в исходную систему дифференциальных уравнений. После преобразований, аналогичных предыдущему примеру, получим следующие девять алгебраических уравнений для нахождения девяти коэффициентов:

β₁ = α₁ + α₂ – α₃, 2γ₁ = β₁ + β₂ – β₃, γ₁ + γ₂ – γ₃ = 0,

β₂ = α₁ – α₂ + α₃, 2γ₂ = β₁ – β₂ + β₃, γ₁ – γ₂ + γ₃ = 0, (11.14)

β₃ = 2α₁, γ₃ = β₁, γ₁ = 0.

Первая группа уравнений (11.14) выражает коэффициенты β₁, β₂, β₃ через α₁, α₂, α₃. Подставляя их во вторую группу уравнений, получим выражения γ₁, γ_{2 ,} γ₃ через α₁, α₂, α₃:

γ₁ = 0, γ₂ = α₁ + α₂ – α₃, γ₃ = α₁ + α₂ – α₃.

Третья группа уравнений (11.14) автоматически обращается в тождество.

Ранг системы алгебраических уравнений (11.14) равен 6, а свободных переменных – три. В качестве свободных неизвестных можно взять α₁, α₂, α₃. Пусть α₁ = С₁, α₂ = С₂, α₃ = С₃ (С₁, С₂, С₃ – произвольные постоянные). Тогда базисные переменные выражаются через них следующим образом:

β₁ = С₁ + С₂ – С₃, γ₁ = 0,

β₂ = С₁ – С₂ + С₃, γ₂ = С₁ – С₂ + С₃,

β₃ = 2С₁, γ₂ = С₁ – С₂ + С₃.

Подставляя решения системы (11.14) в (11.13) и преобразуя, получим следующее общее решение исходной системы примера 7:

,

,

.

По виду общего решения легко выписать три линейно независимых решений заданной системы дифференциальных уравнений и её фундаментальную систему решений (предоставляем это сделать читателю).

Контрольные задания

В соответствующем номере варианта требуется найти:

1. Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения с разделёнными переменными, записанного в дифференциальной форме.

2. Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, записанного в дифференциальной форме.

3. Общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка.

4. Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

5. Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли (методом подстановки) и методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной).

6. Частное решение линейного уравнения первого порядка, из предыдущего номера, удовлетворяющее данному начальному условию у(х₀) = у₀.

7. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8. Частное решение уравнения из предыдущего номера, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(х₀) = у₀₀, (х₀) = у₀₁.

9. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x) при каждой из трёх её указанных видов.

10. По условию задачи составить дифференциальное уравнение для описания процесса, найти его общее решение и решение задачи с начальными условиями (задачи Коши).

11. Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями x(t), y(t).

Вариант 1

1. .

2.

3.

4.

5. .

6. у(0) = 1.

7. .

8. у(0) = 5, .

9. ;

1) f(x) = x² + 1; 2) f(x) = (x + 2)e^-2x; 3) f(x) = e^3xcos 2x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная по времени от количества населения. Предполагается, что скорость прироста населения прямо пропорциональна количеству населения. Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. Найти предполагаемое на этой основе население города S на 1 сентября 2010 года, если известно, что 1 сентября 2008 года оно составляло 5,342 миллиона человек. Годовой прирост принять равным 1,5%.

11.

Вариант 2

1. .

2. e^y(1 + x²)dy – 2x(1+e^y)dx = 0.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. y(0) = 2, .

9. ;

1) f(x) = 2x + 5; 2) f(x) = xe^5x; 3) f(x) = e^x(x cos 3x + sin 3x).

10. Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Принимая во внимание данный факт, установлено, что скорость охлаждения тела (согласно механическому смыслу производной ) прямо пропорциональна разности температур с коэффициентом пропорциональности , где температура тела, температура окружающего среды, искомое время охлаждения. Из экспериментального опыта известно, что тело в комнате с температурой 24⁰ С в течении 10 минут охлаждается с 90⁰ С до 40⁰ С. Через сколько времени от момента начала охлаждения тело, нагретое до 90⁰ С, охладится до 27⁰ С?

11.

Вариант 3

1. y dy – x dx = 0.

2. sin x dy = y ln y dx.

3. .

4. (e^xy + 5y)dx + (e^x + 5x + 1)dy = 0.

5.

6.

7. .

8. y(0) = 6, .

9. ;

1) f(x) = x²; 2) f(x) = xe^3x; 3) f(x) = e^3x sin 2x.

10. Пусть выпуск продукции некоторого предприятия. Скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна с коэффициентом пропорциональности доходу ( доход от продажи выпуска продукции). Согласно механическому смыслу производной скорость изменения функции есть . Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене . Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что . Составить дифференциальное уравнение для функции . Найти функцию при условии, что .

11.

Вариант 4

1. .

2. .

3. .

4. (x + 2xy²)dx + (2x²y + y²)dy = 0.

5. .

6. .

7. .

8. y(0) = 8, .

9. ;

1) f(x) = 2x² + 3x + 5; 2) f(x) = xe^6x; 3) f(x) = e^6x(cos 2x + x sin 2x).

10. Пусть объём продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени . В экономической модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций с коэффициентом пропорциональности , где норма акселерации. Модель предполагает, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене . При таких условиях очевидно, что доход к моменту времени составит . Величина в модели составляет фиксированную часть дохода , где коэффициент пропорциональности является нормой инвестиций . Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , .

11.

Вариант 5

1. y² dy = x² dx.

2. .

3. .

4. (sin y + y + x)dx + (x cos y + x + y)dy = 0.

5. .

6. y(1) = e.

7. .

8. y(0) = 3, .

9. ;

1) f(x) = 3x + 2; 2) f(x) = xe^6x; 3) f(x) = e^x cos 3x.

10. Пусть выпуск продукции является функцией времени. Из механического смысла производной скорость выпуска продукции представляет собой производную . Пусть издержки производства, а цена единицы продукции есть . Рассматривается модель, в которой скорость выпуска продукции прямо пропорциональна прибыли предприятия с коэффициентом пропорциональности ( представляет собой прибыль производства). Составить дифференциальное уравнение для нахождения выпуска продукции , если цена единицы продукции задана функцией . Найти выпуск продукции при условии, что . Издержки производства выражает функция , а цену единицы продукции – функция .

11.

Вариант 6

1. .

2. dy = (y² – 4)dx.

3. .

4. (3x² – y² + 1)dx + (y – 2xy)dy = 0.

5. .

6. y(1) = e.

7. .

8. y(0) = 10, .

9. ;

1) f(x) = x³ + 5; 2) f(x) = xe^2x; 3) f(x) = xe^2x cos 3x.

10. Пусть количество радиоактивного вещества в момент времени . Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе с коэффициентом пропорциональности . Предполагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной скорость радиоактивного распада представляет собой производную функции . За 100 лет распалась половина первоначального количества радиоактивного вещества (период полураспада составляет 1600 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 6% первоначального количества радиоактивного вещества.

11.

Вариант 7

1. .

2. tg x dy – y dx = 0.

3. .

4. (x + 4y²)dx + (8xy + e^y)dy = 0.

5. .

6. .

7. .

8. y(0) = 8, .

9. ;

1) f(x) = 3x² + 2x + 10; 2) f(x) = (x + 1)e^3x; 3) f(x) = xe^2x sin 3x.

10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход , полученный к моменту времени определённой отраслью, является суммой инвестиций и величины потребления : = + . Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости прироста дохода пропорционально величине инвестиций. Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к чистому доходу (прибыли). Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией ; коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , а .

11.

Вариант 8

1. .

2. (1 + e^x)y dy = e^x dx.

3. .

4. (3x²y² + 4xy + 2)dx + (2x³y + 2x² – 3)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 4.

7. .

8. y(0) = 8, .

9. ;

1) f(x) = 2x³ + 5; 2) f(x) = xe^-5x; 3) f(x) = xe^2x cos x.

10. Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада некоторого вещества в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе с коэффициентом пропорциональности . Полагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной известно, что скорость радиоактивного распада представляет собой производную массы. За 300 лет распалась половина первоначального количества (период полураспада составляет 1300 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 8% первоначального количества вещества.

11.

Вариант 9

1. y dy = – x dx.

2. (1 + x²)dy + xy dx = 0.

3. .

4. (2xy – ln y)dx + (x² + 1 – )dy = 0.

5. .

6. y(0) = 5.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = 3x² + 1; 2) f(x) = xe^2x ; 3) f(x) = e^-x sin 2x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения страны через 20 лет, зная что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил .

11.

Вариант 10

1. .

2. .

3. (2y + x)dy + (x + 2y)dx = 0.

4. (2xy² + 6xy + 2x)dx + (2x²y + 3x² – 2y)dy = 0.

5. .

6. y(2) = 1.

7. .

8. y(0) = 5, .

9. ;

1) f(x) = 5x² + 3x + 2; 2) f(x) = xe^7x ; 3) f(x) = xe^2x sin x.

10. Быстрота прироста (скорость размножения) некоторых видов бактерий пропорциональна их количеству, имеющемуся в наличии в рассматриваемый момент времени t с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной скорость размножения некоторых бактерий есть первая производная их количества по времени. В результате экспериментального опыта было обнаружено, что за пять часов количество бактерий увеличилось в четыре раза. Известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный (t=0) количество бактерий составляло . Найти зависимость между количеством бактерий и временем . Определить закон рассматриваемого процесса.

11.

Вариант 11

1. .

2. .

3. .

4. (3x²y² + y)dx + (2x³y + x)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 1.

7. .

8. y(0) = 6, .

9. ;

1) f(x) = 3x³ + 1; 2) f(x) = (x + 5)e^-3x ; 3) f(x) = e^3x sin 2x.

10. Пусть число жителей региона в момент . Из статистических данных известно, что для некоторого рассматриваемого региона число новорождённых и число умерших за единицу времени пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности 2 и 1,4 соответственно. В связи с этим прирост населения за промежуток времени будет прямо пропорционален числу жителей в момент времени с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной известно, что скорость изменения числа жителей региона (прирост населения) представляет собой производную функции . Найти закон изменения численности населения с течением времени, если .

11.

Вариант 12

1. .

2. ctg x dy = tg y dx.

3. .

4. (3x² + y² + 1)dx + (2xy + 2y)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 5.

7. .

8. y(0) = 9, .

9. ;

1) f(x) = x; 2) f(x) = x²e^2x ; 3) f(x) = xe^3x sin x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 13

1. .

2. dy + y dx = 0.

3. (y² + 2xy – x²)dy + (x² + 2xy – y²)dx = 0.

4. e^xy dx + (e^x + y² + 5)dy = 0.

5. .

6. y(1) = 4.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = 2x² + 3; 2) f(x) = x²e^5x ; 3) f(x) = xe^2x cos 5x.

10. Под «политической мобилизацией» понимается вовлечение людей в политическую партию или в ряды её сторонников, участие в каком-либо общественном движении. Принимая во внимание, что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым уровнем, аналитиками был сделан следующий вывод: скорость прироста представляет собой разность между количеством вовлечённых и количеством выбывших (где коэффициент успешности агитационной кампании, коэффициент выбытия (разочаровавшихся)). Найти функцию , если коэффициенты успешности и выбытия агитационной кампании составляют и , а .

11.

Вариант 14

1. .

2. .

3. (x² + y²)dy + xy dx = 0.

4. .

5. .

6. y(1) = .

7. .

8. y(0) = 7, .

9. ;

1) f(x) = 2x³ + 7; 2) f(x) = xe^-x ; 3) f(x) = xe^3x cos 3x.

10. Материальная точка движется по прямой со скоростью, а) прямо пропорциональной, б) обратно пропорциональной пройденному пути с коэффициентом пропорциональности . Согласно механическому смыслу производной скорость материальной точки представляет собой первую производную функции по переменной : . В начальный момент времени материальная точка имела скорость υ₀ = 4 м/с и находилась на расстоянии 4 метра от начала отсчёта пути, то есть и м/с. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины пути от времени . Определить пройденный путь и скорость тела (рассмотреть случаи а) и б) ) через 1,5 секунды после начала движения.

11.

Вариант 15

1. .

2. .

3. .

4. (x² + 3xy² + 4)dx + (3x²y + y)dy = 0.

5. .

6. y(1) = 2.

7. .

8. y(0) = 2, .

9. ;

1) f(x) = x + 8; 2) f(x) = x²e^2x ; 3) f(x) = xe^2x sin 2x.

10. Выпуск продукции некоторого предприятия является функцией переменной времени . Скорость увеличения выпуска продукции ( ) является возрастающей функцией дохода. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене , если известно, что скорость прямо пропорциональна доходу с коэффициентом пропорциональности . Здесь доход от продажи выпуска продукции. Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что функция цены товара определяется как . Найти величину выпуска продукции при условии, что .

11.

Вариант 16

1. .

2. x²dy = – y²dx .

3. (5y + 7x)dy + (8y + 10x)dx = 0.

4. (4xy – ln y)dx + (2x²y – )dy = 0.

5. .

6. y( ) = .

7. .

8. y(0) = 6, .

9. ;

1) f(x) = 5x + 1; 2) f(x) = x²e^x ; 3) f(x) = xe^3x cos x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количества товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 17

1. .

2. dy – 2y dx = 0 .

3. .

4. (3x²y² + 2xy)dx + (2x³y + x²)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 1.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = 7x² + 2; 2) f(x) = x²e^3x ; 3) f(x) = e^3x sin 4x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количества товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 18

1. .

2. dy = – y sin x dx.

3. (x³ + y³)dx – xy²dy = 0.

4. .

5. .

6. y(0) = 1.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = 4x² + 8; 2) f(x) = x²e^3x ; 3) f(x) = e^x sin 2x.

10. В экономической теории эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Известно, что эластичность вычисляется по формуле . Показатель эластичности функции относительно переменной показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Известно, что спрос считают эластичным относительно цены , если . Если , то спрос не эластичен относительно цены. Говорят о спросе с единичной эластичностью, если . Найти функцию спроса , если эластичность спроса относительно цены составляет и .

11.

Вариант 19

1. .

2. dy +x²y dx = 0.

3. (2x – y)dy + (x +y)dx = 0.

4. 2xe^ydx + (x²e^y + 1)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 4.

7. .

8. y(0) = 2, .

9. ;

1) f(x) = 3x + 8; 2) f(x) = 2xe^-x ; 3) f(x) = xe^5x cos x.

10. Под темпом изменения функции понимают относительную скорость изменения функции, которая определяется её логарифмической производной: . Аналитиками была найдена формула темпа изменения производительности труда: . Пусть представляет собой производительность труда в момент времени . Найти закон изменения производительности труда , если при она составляет 3 усл.ед.

11.

Вариант 20

1. .

2. x dy = y ln y dx.

3. x(x – y)dy + y²dx = 0.

4. .

5. .

6. y(0) = 2.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = x² – 2; 2) f(x) = 5xe^-3x ; 3) f(x) = xe^-3x sin 3x.

10. Материальная точка движется по прямой со скоростью, а) прямо пропорциональной, б) обратно пропорциональной пройденному пути с коэффициентом пропорциональности . Согласно механическому смыслу производной скорость материальной точки представляет собой первую производную функции по переменной : . В начальный момент времени материальная точка имела скорость υ₀ = 4 м/с и находилась на расстоянии 6 метров от начала отсчёта пути, то есть и м/с. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины пути от времени . Определить пройденный путь и скорость тела (рассмотреть случаи а) и б) ) через 15 секунд после начала движения.

11.

Вариант 21

1. .

2. (1 + x)dy – (1 + y²)dx = 0.

3. y³dy + (3xy² + 2x³)dx = 0.

4. e^-ydx + (y – xe^-y)dy = 0.

5. .

6. y( ) = π.

7. .

8. y(0) = 10, .

9. ;

1) f(x) = x + 10; 2) f(x) = (x² + 1)e^x ; 3) f(x) = e^x cos 3x.

10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход , полученный к моменту времени определённой отраслью, является суммой инвестиций и величины потребления , = + . Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости прироста дохода пропорционально величине инвестиций, т.е. . Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к произведённой в соответствующий период продукции или её части – чистому доходу, прибыли. Капиталоёмким считается производство, где наибольший удельный вес в полных издержках продукции имеет амортизационная составляющая. Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией ; коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .

11.

Вариант 22

1. .

2. x dy = – y dx.

3. (x² + y²)y dy + 2xy² dx = 0.

4. e^5xy dx + ( e^5x + y² + 1)dy = 0.

5. .

6. y(1) = 6.

7. .

8. y(0) = 3, .

9. ;

1) f(x) = 2x³ + 3x + 5; 2) f(x) = 3xe^5x ; 3) f(x) = 2xe^-2xsin x.

10. Пусть задана некоторая кривая . Для произвольной точки на данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке (т.е. ). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи, составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти . Найти конкретную кривую , если известно, что она проходит через точку .

11.

Вариант 23

1. .

2. x dy – dx = 0.

3. (x – y)dy – y dx = 0.

4. (3x²y + 5y + 1)dx + (x³ + 5x + y)dy = 0.

5. .

6. y( ) = πe.

7. .

8. y(0) = 6, .

9. ;

1) f(x) = 2x³ + 3x² + 1; 2) f(x) = (7x + 5)e^2x ; 3) f(x) = xe^2xsin x.

10. Пусть скорость грузового судна в момент времени . Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на его ускорение равно силе , действующей на грузовое судно ( ). Отметим, что ускорением тела называют первую производную его скорости по времени, то есть . Судно замедляет своё движение под действием сопротивления воды , которое пропорционально его скорости с коэффициентом пропорциональности . Напомним, что сила направлена против движения (на уменьшение скорости): . Найти закон изменения скорости как функции времени; найти , если (м/сек.).

11.

Вариант 24

1. .

2. y(1 + x²)dy = (1+ y²)dx.

3. .

4. (2xe^y + y)dx + (x²e^y +x + y²)dy = 0.

5. y sin x = e^{cos x}.

6. y(0) = e.

7. .

8. y(0) = 2, .

9. ;

1) f(x) = 7x² + 5x + 3; 2) f(x) = (x + 7)e^4x ; 3) f(x) = xe^-3xcos x.

10. Пусть задана некоторая кривая . Для произвольной точки на данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке (то есть ). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти . Найти конкретную кривую , если известно, что она проходит через точку .

11.

Вариант 25

1. .

2. x dy – y dx = 0.

3. (x² – y²) = 2xy.

4. (sin y + x)dx + (x cos y + y)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 1.

7. .

8. y(0) = 2, .

9. ;

1) f(x) = 5x² + 2x + 4; 2) f(x) = 2x²e^-2x ; 3) f(x) = e^3xsin 5x.

10. Под темпом изменения функции понимают относительную скорость изменения функции, которая определяется её логарифмической производной: . Аналитиками была найдена формула темпа изменения производительности труда: . Пусть представляет собой производительность труда в момент времени . Найти закон изменения производительности труда , если при она составляет 1 усл.ед.

11.

Вариант 26

1. .

2. dy = y tg x dx.

3. x dx + y dy = x dy – y dx.

4. (3x² + 6xy² + 1)dx + (6x²y + y)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 4.

7. .

8. y(0) = 7, .

9. ;

1) f(x) = 3x + 5; 2) f(x) = (5x + 2)e^x ; 3) f(x) = e^2xcos 7x.

10. В экономической теории эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Известно, что эластичность вычисляется по формуле . Показатель эластичности функции спроса относительно переменной показывает, на сколько процентов изменится при изменении цены на 1%. Известно, что спрос считают эластичным относительно цены , если . Если , то спрос не эластичен относительно цены. Говорят о спросе с единичной эластичностью, если . Найти функцию спроса , если эластичность спроса относительно цены составляет и .

11.

Вариант 27

1. .

2. (x² + 1)dy – y dx = 0.

3. .

4. (x³ + 3xy² + y)dx + (y² + 3x²y + x)dy = 0.

5. .

6. y(0) = 2.

7. .

8. y(0) = 4, .

9. ;

1) f(x) = 4x² + 3; 2) f(x) = x²e^5x ; 3) f(x) = (x + 1)e^2x sin x.

10. Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур и (соответственно тела и окружающей среды): , где время охлаждения, коэффициент пропорциональности. В среду с постоянной температурой 25⁰С поместили тело, нагретое до 100⁰С. Через 15 минут температура понизилась до 70⁰С. Через какое время температура тела станет равной 45⁰С?

11.

Вариант 28

1. .

2. dy = y dx.

3. (y – x)dy + (x + y)dx = 0.

4. (3x² + 6xy² + x)dx + (6x²y + y² – 5)dy = 0.

5. .

6. y( ) = 2.

7. .

8. y(0) = 1, .

9. ;

1) f(x) = 3x³ + 2x² + 3; 2) f(x) = (2x +5)e^-4x ; 3) f(x) = xe^x cos 5x.

10. Скорость размножения некоторого вида грибов пропорциональна их количеству, имеющемуся в наличии в рассматриваемый момент времени t с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной скорость размножения грибов есть производная их количества по времени. В результате экспериментального опыта было обнаружено, что за шесть часов количество грибов увеличилось в три раза. Известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный (t=0) количество грибов составляло . Найти зависимость между количеством грибов и временем . Определить закон рассматриваемого процесса.

11.

Вариант 29

1. .

2. dy + y cos x dx = 0.

3. 4xy dy = – y² dx.

4. (x³ + 2xy² + 1)dx + (2x²y + y³ + 2y)dy = 0.

5. .

6. y( ) = 1.

7. .

8. y(0) = 4, .

9. ;

1) f(x) = 2x² + 3x + 7; 2) f(x) = (x + 10)e^4x ; 3) f(x) = e^x sin 4x.

10. Ускорение поезда, начальная скорость которого равна 25 м/с, представляет собой частное силы тяги и массы поезда . Отметим, что ускорением тела называют первую производную его скорости по времени, то есть . Сила тяги локомотива равна , где скорость локомотива в момент . Определить зависимость силы тяги поезда от времени , если его масса .

11.

Вариант 30

1. .

2. dy = – x²y dx.

3. x dy + (x + y) dx = 0.

4. .

5. .

6. y(0) = 2.

7. .

8. y(0) = 10, .

9. ;

1) f(x) = 5x³ + 2x + 3; 2) f(x) = x²e^4x ; 3) f(x) = 2xe^-4x cos 3x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения страны через 30 лет, зная что в 2001 г. оно составляло 130 миллионов человек, а прирост населения составил .

11.

Оглавление

Введение ........................................................................................................................3

Общие понятия о дифференциальных уравнениях....................................................4

1. Дифференциальные уравнения первого порядка ..................................................5

2. Дифференциальные уравнения с разделёнными и

разделяющимися переменными...................................................................................8

3. Однородные дифференциальные уравнения .......................................................10

4. Уравнения в полных дифференциалах .................................................................12

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ..............................14

6. Дифференциальные уравнения второго порядка ................................................18

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами................................................................22

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами................................................................24

9. Решение прикладных задач с помощью дифференциальных

уравнений.....................................................................................................................32

10. Системы дифференциальных уравнений ...........................................................44

11. Системы линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами ...........................................................47

Контрольные задания .................................................................................................62

Учебное издание

Михаил Филиппович Тиунчик

Юлия Геннадьевна Саяпина

ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕНРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие

Редактор Г.С. Одинцова

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

80