7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (7.1)

где и – некоторые постоянные.

Многочлен вида

называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение

=0 (7.2)

называется характеристическим уравнением уравнения (7.1).

Если в уравнении (7.2) коэффициенты и – действительные числа и – его различные действительные корни, то функции образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (7.1) и его общее решение имеет вид

, (7.3)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: . Корнями характеристического уравнения являются числа и . Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением является функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа, а уравнение (7.2) имеет действительный корень кратности 2, то фундаментальная система решений уравнения (7.1) состоит из функций и общее решение дифференциального уравнения (7.1) таково:

, (7.4)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: , откуда . Уравнение имеет действительный корень кратности 2. Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением будет функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа и уравнение (7.2) имеет комплексно – сопряжённые корни (β ≠ 0), то каждый корень из этой комплексной пары даёт одну и ту же фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (7.1), которая выглядит следующим образом: . Общее решение дифференциального уравнения (7.1) имеет вид

, (7.5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Корни характеристического уравнения таковы: . Фундаментальную систему решений образуют функции . Общим решением является функция .