ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (8.1)

где f(x) ≠ 0. Будем его рассматривать с постоянными действительными коэффициентами p, q.

Структура общего решения неоднородного уравнения (8.1) имеет вид

, (8.2)

где – общее решение соответствующего приведённого однородного уравнения, а – какое-нибудь частное решение самого неоднородного уравнения.

Нахождение общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами описано в предыдущей теме и связано с корнями характеристического уравнения (7.2).

Рассмотрим способы нахождения частного решения неоднородного уравнения (8.1) при специальных видах правой части f(x).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид

f(x) = e^σ^xP_n(x), (8.3)

где σ – некоторое действительное число, называемое контрольным числом правой части уравнения (8.1), а

P_n(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ (8.4)

есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При n = 0 (8.4) задаёт многочлен нулевой степени P_n(x) = a₀ ≠ 0, который не нужно путать с так называемым нулевым многочленом – функцией, являющейся тождественным нулём.

Заметим, что при σ = 0 правая часть уравнения (8.1) будет представлять собой многочлен (8.4).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение необходимо искать в виде

у = е^σ^х Q_n(x); (8.5)

б) если σ является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение находят в виде

у = хе^σ^х Q_n(x); (8.6)

в) если σ является двукратным корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение надо искать в виде

у = х²е^σ^х Q_n(x). (8.7)

В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Q_n(x) есть многочлен такой же степени, что и многочлен Р_n(x), стоящий в правой части (8.3), т.е. он имеет вид

Q_n(x) = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ. (8.8)

Коэффициенты b_r (r = 0, 1, ..., n) многочлена (8.8) подлежат нахождению. Это делается следующим образом. Для соответствующей ситуации функции (8.5), (8.6), (8.7) и входящие в уравнение производные подставляются в (8.1). После этого сокращают на е^σ^х и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получится система алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов b_r многочлена (8.8). Этот способ нахождения чисел b_r называют методом неопределённых коэффициентов.

Данный вывод о нахождении частных решений уравнения (8.1) относится и к случаю σ = 0, т.е. случаю, когда правая часть f(x) этого уравнения имеет вид (8.4). Тогда в ситуациях б) и в) можно было бы поступить иначе. В ситуации б) имеем q = 0 и можно понизить порядок уравнения, применяя подстановку z = y′. В ситуации в) имеем, что коэффициенты p и q равны нулю; тогда уравнение может быть решено интегрированием, т.к. оно имеет вид у′′ = P_n(x).

Отметим ещё, что ситуации б) и в) приведённого вывода называются резонансными случаями.

Поясним сформулированный вывод нахождения частных решений рядом примеров.

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.4), т.е. имеем случай, когда в формуле (8.3) . Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение приведённого однородного дифференциального уравнения будет: , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем: . Сравнивая многочлены, получим систему для отыскания коэффициентов , :

Тогда , . Частным решением неоднородного уравнения является функция , а общее решение неоднородного уравнения таково:

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение. Правая часть этого уравнения представляет собой вид (8.4), причём многочлен является многочленом второй степени. Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные.

Система для отыскания коэффициентов , и будет иметь вид

Из системы находим , , . Тогда частное решение неоднородного уравнения таково: . В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Пример 3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

при начальных условиях , .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.4) с многочленом третьей степени. Корнями характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения являются числа и . Общим решением однородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и _{в неоднородное уравнение получаем следующее:}

Система для отыскания коэффициентов , , и будет иметь вид

откуда , , , . Тогда частным решением неоднородного уравнения является функция .

В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Вычислим и :

Сравнивая эти значения с данными начальными условиями примера, получим систему для отыскания постоянных и :

В результате решения системы получаем , . Решение дифференциального уравнения с начальными условиями будет таково: .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3). Контрольное число правой части .

Найдём общее решение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения . Корнями его характеристического уравнения являются числа и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид .

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид . Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5) с многочленом первой степени:

Подставляя эту функцию, её производные и в неоднородное уравнение, после преобразований получим:

Система для отыскания коэффициентов и примет следующий вид:

Тогда =1 и . Частное решение неоднородного уравнения есть . Общее решение представляет собой функцию .

Пример 5. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), при этом контрольное число правой части является однократным корнем характеристического многочлена. Поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.6):

Пример 6. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), причём контрольное число правой части .

Характеристическое уравнение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения имеет единственный двукратный корень .

Поскольку контрольное число является двукратным корнем характеристического многочлена, то частное решение исходного неоднородного уравнения находим в виде (8.7):

Пусть теперь правая часть уравнения (8.1) имеет специальный следующий вид:

f(x) = e^α^x [P_n(x) cos βx + R_m(x) sin βx], (8.9)

где α, β – действительные числа, причём β ≠ 0, а P_n(x), R_m(x) – многочлены соответственно степени n ≥ 0 и m ≥ 0 с действительными коэффициентами. При этом не исключается, что в (8.9) могут присутствовать члены только с косинусами или только с синусами; это означает, что один из многочленов может быть нулевым (либо P_n(x) ≡ 0, либо R_m(x) ≡ 0).

Случай β = 0 приводит к изученной ситуации (8.3).

Число σ = α ± βi назовём контрольным числом правой части уравнения (8.1).

Наибольшую из степеней многочленов, присутствующих в (8.9), обозначим через S:

S = max {n, m}.

Пусть правая часть неоднородного уравнения (8.1) имеет вид (8.9). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения (7.2) соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение находят в виде

y = e^α^x [Q_S(x) cos βx + L_S(x) sin βx], (8.10)

б) если контрольное число σ является корнем характеристического уравнения (7.2) (резонансный случай), то частное решение находят в виде

y = x e^α^x [Q_S(x) cos βx + L_S(x) sin βx]. (8.11)

В выражениях (8.10) и (8.11) многочлены Q_S(x), L_S(x) есть многочлены высшей степени S каждый со своими коэффициентами b_r, C_r, подлежащими нахождению методом неопределённых коэффициентов.

К выводу б) сделаем следующее замечание. Комплексные корни алгебраического уравнения (7.2) второй степени с действительными коэффициентами p, q могут являться только сопряжёнными парами α + βi и α – βi, т.е. они у этого уравнения однократны. Поэтому в (8.11) множитель x имеет первую степень (сравните с ситуациями б) и в) предыдущего вывода).

Поясним выводы а) и б) ситуации (8.9) примерами.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и нулевой степени. Поэтому в виде частного решения оба многочлена должны быть высшей степени, т.е. первой:

Подставляя эту функцию и её производные

в исходное уравнение, после преобразований получаем:

. Система для нахождения коэффициентов примет вид:

Решая систему, находим коэффициенты: , , , . Общим решением неоднородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом. Поэтому частное решение должно содержать многочлены второй степени, а именно

Тогда общее решение неоднородного уравнения таково: , где и – произвольные постоянные.

Содержание