4 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

, (4.1)

если существует такая функция u = u(x, y) двух переменных, полный дифференциал которой представим в виде

du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

du(x, y) = 0.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является выражение

u(x, y) = С, (4.2)

где С – произвольная постоянная.

Известно, что для того чтобы левая часть уравнения (4.1) являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера

. (4.3)

Если условие (4.3) выполнено, то

du = Pdx + Qdy.

С другой стороны, из определения полного дифференциала функции u имеем равенство

.

Из этих двух равенств получаем следующую систему уравнений в частных производных:

Проинтегрируем первое равенство системы по переменной х:

, (4.4)

где С(y) – произвольная функция переменной у. Для нахождения функции С(y) дифференцируем равенство (4.4) по у; при этом учитываем, что :

.

Из последующего уравнения определится С′(y), а затем интегрированием по у найдётся С(y).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Так как , , то ; . Следовательно, выполняется условие (4.3), и это уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах. Для искомой функции имеем и . Из первого уравнения получаем = . Дифференцируем последнее равенство по : =8xy + С′(y). Учитывая, что =8xy + 1, имеем С′(y) = 1. Отсюда , = . Общий интеграл запишется в виде .