1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка представляет собой

. (1.1)

В равенстве (1.1) F есть известная функция трёх переменных, т.е. это соотношение связывает три переменные величины: независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и её производную y′(х).

В некоторых случаях уравнение (1.1) можно однозначно разрешить относительно производной у′, т.е. представить в виде

у′ = f(x, y), (1.2)

где f(x,y) – конкретная функция двух переменных. Уравнение (1.2) называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Это уравнение, как и (1.1), рассматривают на некотором промежутке изменения аргумента х; например, на отрезке [a, b]. Часто эти уравнения рассматриваются на множестве (–∞, +∞), т.е. на всей координатной прямой Ох.

Уравнение (1.2) более доступно для изучения, чем дифференциальное уравнение общего вида (1.1). Так, воспользовавшись равенством dy = y′dx, его можно представить в виде

dy = f(x,y)dx, (1.3)

который называют дифференциальной формой уравнения (1.2).

Тогда при некоторых видах функции f(x,y) может получиться уравнение

Р(х, у)dx + Q(x, y)dy = 0, (1.4)

где P и Q – конкретные функции двух переменных.

Уравнение (1.4) будем называть дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Самым простым примером дифференциального уравнения вида (1.2) является уравнение

у′ = f(x),

где f(x) – известная функция.

Из интегрального исчисления известно, что решение находится интегрированием этой функции:

y = = F(x) + C,

где С – произвольная постоянная, а F(x) – одна из первообразных функций для функции f(x). Следовательно, дифференциальное уравнение такого вида имеет бесконечное множество решений.

Например, решением уравнения у′ = 2х является множество у = х² + С, т.е. геометрически представляет собой семейство парабол в прямоугольной декартовой системе координат Оху. Каждую такую функцию называют интегральной кривой. В случае простейших уравнений, как или , соответствующие интегралы, как известно из интегрального исчисления, уже не выражаются через элементарные функции. Всё же те уравнения, решения которых выражаются через интегралы от элементарных функций, принято называть разрешимыми «в квадратурах». Этот термин возник в связи с тем, что операция интегрирования связана с отысканием площадей фигур.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, связанный с операцией интегрирования, принято называть интегрированием дифференциального уравнения.

Выделим во множестве решений y=x² + C только что рассмотренного дифференциального уравнения y′ = 2x функцию (интегральную кривую), проходящую через точку М(1, 2), т.е. решение, удовлетворяющее условию у(1) = 2. Им будет интегральная кривая у = х² + 1. Такое решение называется частным решением (частным интегралом) этого дифференциального уравнения. Оно получилось из решения у = х² + С подбором постоянной С (в данной ситуации оказалось, что С = 1). В дальнейшем решение у = х² + С, где С – произвольная постоянная, будет называться общим решением (общим интегралом) уравнения y′ = 2x. С геометрической точки зрения общее решение представляет собой семейство интегральных кривых (в данном случае – семейство парабол).

Всякое решение дифференциального уравнения (1.1) или (1.2) при условии

у(х₀) = у₀, (1.5)

где х₀ – произвольная точка из промежутка, на котором рассматривается уравнение, а у₀ – произвольно заданное число, называется частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой.

Равенство (1.5) называется начальным условием для дифференциального уравнения.

Геометрически оно означает, что на плоскости Оху задаётся точка М₀(х₀, у₀), через которую должна проходить искомая интегральная кривая, т.е. график функции у = у(х).

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1.1) или (1.2) с присоединённым к нему условием (1.5), называется задачей Коши или задачей с начальным условием.

Непрерывно дифференцируемая функция (функция, непрерывная вместе с её производной)

у = у(х, с), (1.6)

которая содержит одну произвольную постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения или общим интегралом (1.1) или (1.2), если выполняются следующие два условия:

1) при каждом фиксированном С эта функция является решением соответствующего уравнения;

2) каково бы ни было начальное условие (1.5), найдётся такое конкретное число С, что функция (1.6) при этом С будет удовлетворять этому условию.

Запись (1.6) означает, что имеется явная форма общего решения (общего интеграла).

Однако во многих случаях при решении дифференциального уравнения удаётся получить лишь неявное выражение общего решения (общего интеграла)

Ф(х, у, с) = 0, (1.7)

т.е. некоторое соотношение, связывающее аргумент х, неизвестную функцию у = у(х) и содержащее одну произвольную постоянную С.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения первого порядка есть решение, из которого путём подбора постоянной С можно получить частное решение с любым подходящим этому уравнению начальным условием.

Сформулируем теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (1.2) с начальным условием (1.5).

Пусть правая часть f(x,y) уравнения (1.2) как функция двух переменных х, у удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна в некоторой области D на плоскости, содержащей точку (х₀, у₀), являющуюся внутренней для D;

2) функция f имеет непрерывную частную производную по переменной у в области D. Тогда найдётся такое число δ > 0, что на отрезке [x₀ – δ, x₀ + δ] из промежутка, на котором рассматривается дифференциальное уравнение, решение задачи Коши (1.2), (1.5) существует и единственно.

Обычно х (– ∞, + ∞). Но если х принадлежит некоторому отрезку [a, b], то область D на плоскости предполагается такой, что точка х₀ является внутренней для [a, b]. Например, D есть прямоугольник [x₀ – a, x₀ + b; y₀ – с, y₀ + d].