9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Аппарат дифференциальных уравнений находит широкое применение для математического решения ряда экономических, экологических, демографических, социальных и физических прикладных задач.

В математическом исследовании любой задачи, касающейся некоторого реального процесса, выделяют следующие основные этапы:

1) построение математической модели явления или процесса;

2) изучение математической модели и получение решения составленной математической задачи;

3) практическое приложение полученных результатов на основе данной модели.

Желательно также выяснить, какие явления или процессы можно описать той же математической моделью.

В соответствии с вышеописанными основными этапами математического исследования задачи непосредственное решение распадается на пункты:

а) составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи;

б) решение дифференциального уравнения;

в) исследование полученного решения.

Как правило, рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении.

2. Выявить законы (экономические, физические и т.д.), связывающие их.

3. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти.

4. Выразить все величины из условия задачи через независимую переменную, искомую функцию и её производные.

5. Исходя из условия задачи и закона, которому подчинено рассматриваемое явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

7. Определить начальные или краевые условия для составленного дифференциального уравнения.

8. По начальным или краевым условиям найти частное решение дифференциального уравнения.

9. Исследовать полученное решение.

Рассмотрим практическую реализацию описанной схемы на примере некоторых экономических задач.

Задача 1. Для некоторого предприятия установлено, что скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна его прибыли с коэффициентом пропорциональности . Пусть выпуск продукции этого предприятия. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене . Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что цена одной единицы продукции задана функцией вида . Полные издержки предприятия выражаются функцией . Составить дифференциальное уравнение для функции . Найти функцию при условии, что в начальный момент времени выпуск равен 100.

Решение

1. Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время , выпуск продукции , цена единицы продукции, прибыль, полные издержки предприятия, скорость роста выпуска.

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

• скорость выпуска продукции определяется как производная выпуска продукции по времени: ;

• выручка предприятия определяется как произведение цены единицы продукции на интенсивность её выпуска ;

• прибыль определяется как разность между выручкой предприятия и полными издержками ;

• скорость выпуска продукции в 1,1 раза больше его прибыли.

3. Выбираем

   • независимую переменную t;

   • функцию переменной t, которую необходимо найти: .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию и её производную:

• прибыль предприятия =

;

• скорость выпуска продукции .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

= .

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

, ,

.

, , , . Общим решением является функция .

7. Определяем начальное условие: .

8. По начальным условиям найдём частное решение.

Поскольку , получаем уравнение

.

Откуда . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид .

9. Исследуем полученное решение.

Построим график частного решения.

Из графика видно, что с увеличением времени интенсивность выпуска снижается. Можно определить значение функции для различных значений промежутков времени ; например, 12,99 или 3,48.

Определим, с какого времени выпуск продукции становится меньше единицы, то есть . Для этого необходимо решить неравенство

или .

Введём обозначение , . В результате замены получаем неравенство . Отметим нули неравенства и на числовой оси и исследуем знак неравенства при переходе через эти точки.

Решением рационального неравенства будет являться объединение промежутков:

.

Возвращаясь к замене , найдём искомые промежутки времени .

1) или . Откуда или .

2) или . Решая показательное неравенство, приходим к линейному неравенству или . Получили посторонний промежуток, поскольку .

Таким образом, начиная с момента выпуск продукции становится меньше единицы.

Задача 2. Найти динамику цены на товар, если прогноз спроса и предложения описываются соотношениями:

,

.

Известно, что , .

Решение

1. Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время , цена на товар , спрос , предложение .

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

• спрос определяется из соотношения ;

• предложение задаётся равенством ;

• равновесную цену находят, приравнивая функции спроса и предложения: .

3. Выбираем

• независимую переменную t;

• функцию переменной t, которую необходимо найти: .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию и её производную:

• спрос ;

• предложение .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

Динамика цены на товар определяется из равенства;

.

Тогда или ,

.

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение находят в виде .

Найдём . Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения таково: . Корнями характеристического уравнения являются числа

.

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения является функция .

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Правая часть уравнения имеет вид . Контрольное число не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будет вида . Найдем с помощью метода неопределённых коэффициентов. Подставляя и в первоначальное уравнение, получаем уравнение: , откуда . Таким образом, .

Общее решение неоднородного уравнения таково:

.

7. Определяем начальные условия: , .

8. Определим частное решение дифференциального уравнения по начальным условиям , .

Учитывая, что , получаем систему для отыскания постоянных и :

Система после преобразования принимает вид

откуда и .

Частное решение дифференциального уравнения таково:

.

9. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 1). Из графика видно, что с увеличением времени динамика цены на товар снижается. Определим, с какого времени цена на товар становится равной нулю, то есть .

Рисунок 1 – График зависимости цены от времени

Найдём решение уравнения . На рисунке 2 показано решение данного уравнения с помощью пакета Maple.

Рисунок 2 – Решение уравнения с помощью пакета Maple

Таким образом, при цена на товар становится равной нулю. При цена становится отрицательной.

Задача 3. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил .

Решение

1. Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: наличное количество населения , время .

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

• скорость изменения населения прямо пропорциональна наличному количеству населения с коэффициентом пропорциональности : .

3. Выбираем

• независимую переменную t;

• функцию переменной t, которую необходимо найти: .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию и её производную:

• скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени: .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи

.

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Откуда , , . Общее решение таково: .

7. Определяем параметры С и К

Так как общее решение

у = Се^kt,

то постоянная С определяется из начального условия у(0) = у₀. Получим уравнение у₀ = Се^k∙0 для нахождения С. Следовательно, С = у₀ и решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид у = у₀ е^k∙t. Теперь надо найти параметр К. Для этого воспользуемся условием задачи: через год население увеличилось на b%. Тогда годовой прирост в процентах от у₀ составит , а количество населения через год станет равным . Таким образом, .

Частное решение у = у₀ е^k∙t при t = 1 принимает значение у₀ е^k. Тогда для нахождения параметра К имеем следующее уравнение:

,

откуда .

Следовательно, равенство

задаёт численность населения в момент времени t при начальном количестве у₀ и годовом приросте b%.

Первое начальное условие . Найдём второе начальное условие из условия задачи. Поскольку через год население увеличилось на %, то годовой прирост в процентах от составит , а количество населения через год становится равным + . Таким образом, второе начальное условие имеет вид + .

8. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 2).

Рисунок 2 – график частного решения

Из графика видно, что с увеличением времени количество населения увеличивается.

Найдём предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил . Подставляя в частное решение , и , получаем миллионов человек.