21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
Минимальная по количеству векторов порождающая система называется базисом данного векторного пространства ( порядок векторов фиксирован)
Свойства базиса: 1) Количество векторов в базисе постоянно
2) Базис всегда линейно независимая система
3) Любой вектор векторного пространства можно разложить по базису.
Количество векторов в базисе называется его размерностью (div V)
Алгоритм построения базиса:
1) Берем любой ненулевой вектор пространства, составляем его линейную оболочку
2) Берем любой ненулевой вектор пространства, не принадлежащий к той линейной оболочке
3) Составляем линейную оболочку двух векторов( все суммы векторов с дюбыми коэффициентами)
4) Находим вектор не равный нулю, не принадлежащий линейной оболочке двух векторов. Алгоритм останавливается, когда линейная оболочка полученных векторов совпадает со всем множеством V
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору
( = ; =(a1,a2,…,an) ), где a1,a2,…an – координаты вектора.
- 1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
- 2.Нод чисел, его свойства, алгоритм Евклида. Нок чисел.
- 3. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства. Классы вычетов по модулю m.
- 4. Вычеты и операции над ними, кольцо вычетов.
- 5. Кольцо вычетов. Сравнения в кольце вычетов, решение сравнения ax≡1(mod m).
- 7.Примитивные, обратимые классы. Случай, когда кольцо является полем. Функция Эйлера, ее свойства. Теорема Эйлера. Теорема Ферма.
- 8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.
- 9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.
- 10.Циклические группы.
- 11.Нормальные подгруппы и факторгруппы.
- 12.Гомоморфизм групп, его виды, примеры. Ядро гомоморфизма, его свойства.
- 13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.
- 14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
- 15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.
- 16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
- 17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
- 21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
- 22.Линейное отображение векторных пространств, его матрица. Линейные преобразования векторных пространств.
- 23. Собственные значения, собственные векторы, их свойства.
- 24.Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространстве. Евклидово и унитарное пространство. Матрица Грама.