logo
ответы на АИГ(экзамен)

9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.

Понятие подгруппы Определение Группа называется подгруппой группы , если, во первых (как подмножество) и, во-вторых,

Признак подгруппы: Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда: .Смежные классы; разложение группы по подгруппе.Условимся о следующих обозначениях. Если A и B два подмножества группы G, то A*B обозначает множество всевозможных произведений элементов первого из них на элементы второго, а - множество всех обратных элементов из A. В этих обозначениях, например, условие, при котором A является подгруппой G можно записать в виде:

Определение Пусть x некоторый фиксированный элемент группы G, а H - любая ее подгруппа. Множество x*H называется левым, а H*x - правым смежным классом группы по подгруппе.

Например, очевидно, что *H=H* =H, так что подгруппа Н сама является одним из смежных классов.

Свойства смежных классов

  1. Отображение , определенное формулой является взаимно однозначным для всякого .

  2. Каждый элемент x входит в смежный класс x*H.

  3. Если y входит в смежный класс x*H , то y*H=x*H

  4. Если y не входит в смежный класс x*H, то

(Свойства 1- 4 сформулированы для левых смежных классов, но аналогичными свойствами обладают и правые).

Доказательство.

  1. сюръективно по определению смежного класса. Если, то есть , то по закону сокращения , то есть инъективно.

  2. Поскольку входит в подгруппу H, x=x* входит в смежный класс x*H.

  3. Пусть y=x*h и z , то есть z=y*h’ Тогда z=(x*h)* h’= x*(h*h’) и значит входит в класс x*H. Таким образом, . Обратное включение вытекает из того, что и значит входит в y*H.

  4. Докажем от противного. Пусть классы x*H и y*H пересекаются и элемент z входит в каждый из них, так что . Тогда что противоречит нашему предположению.

Следствие

Если подгруппа H конечна, то все левые смежные классы содержат одинаковое число элементов, равное порядку этой подгруппы. (Следует из свойства 1.)

Определение

Индексом [G:H] подгруппы H в группе G называется количество различных левых смежных классов G по H (если оно конечно).

Теорема Лагранжа Если G конечная группа и H ее подгруппа, то

ord(G)={G:H]*ord(H) (Здесь ord( ) обозначает порядок группы).

Доказательство: Пусть - полный перечень левых смежных классов G по H и класс Ci содержит элементы . Тогда m - индекс [G:H] , а n - порядок H (по следствию из предыдущей теоремы). По свойству 3. все элементы Xij попарно различны и по свойству 2. исчерпывают список элементов группы G. Значит, m*n=ord(G), что и требовалось.

Следствие Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

В самом деле, число ord(G)/ord(H)=[G:H] является целым.