14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
…Подстановка элементов данного множества (математическая), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом φ(а) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П. по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя, однако оно применяется большей частью к конечным множествам. a b c f(a) f(b) ... f(c) здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П. не зависят от природы элементов а, b,..., с, то большей частью (во всяком случае — в учебных целях) используют целые числа 1, 2,..., n,при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своём естественном порядке 1 2 3 ... f(1) f(2) f(3) f(...). Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций
X →X): а) При симметрическая группа Sn некоммутативна. б)При симметрическая группа Sn является неразрешимой (и напротив: при — разрешимой). в)В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности,
- 1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
- 2.Нод чисел, его свойства, алгоритм Евклида. Нок чисел.
- 3. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства. Классы вычетов по модулю m.
- 4. Вычеты и операции над ними, кольцо вычетов.
- 5. Кольцо вычетов. Сравнения в кольце вычетов, решение сравнения ax≡1(mod m).
- 7.Примитивные, обратимые классы. Случай, когда кольцо является полем. Функция Эйлера, ее свойства. Теорема Эйлера. Теорема Ферма.
- 8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.
- 9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.
- 10.Циклические группы.
- 11.Нормальные подгруппы и факторгруппы.
- 12.Гомоморфизм групп, его виды, примеры. Ядро гомоморфизма, его свойства.
- 13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.
- 14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
- 15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.
- 16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
- 17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
- 21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
- 22.Линейное отображение векторных пространств, его матрица. Линейные преобразования векторных пространств.
- 23. Собственные значения, собственные векторы, их свойства.
- 24.Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространстве. Евклидово и унитарное пространство. Матрица Грама.