16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
В кольце многочленов с действительными коэф- фициентами обратимыми являются многочлены нулевой степени, т.е.
отличные от нуля действительные числа. Многочлены называются ассоциированными, если они отличаются на постоянный множитель – элемент основного поля А: A[x],Z[x],Z2[x],R[x]. Деление многочленов с остатком. Пусть f,g, два многочлена A[x], тогда , такие что f=g ∙ q + r; (deg(r)<deg(g)); q – неполн.частное. r – остаток. Многочлен называется нормализованным, если его старший коэффициент = 1. НОД f,g A[x] называется многочлен большей степени с коэффициентами из поля А или любого его расширения на который делятся оба многочлена f и g. Для всех многочленов ∞ множество НОД. Алгоритм Евклида поиска НОД многочлена. НОД(f,g); deg(f)≥deg(g)
● f=g ∙ q1 + r1, deg(r1)<deg(g); ●g = r1∙ q2 + r2, deg(r2)<deg(r1);
● r1 = r2∙ q3 + r3, deg(r3)<deg(r2);……………………………………
● rn-2 = rn-1∙ qn + rn, deg(rn)<deg(rn-1); ● rn = rn∙ qn+1 +0; НОД(f,g)= rn
НОК двух или более многочленов - это многочлен самой низкой степени, который делится на каждый из данных. Теорема Безу. Элемент с A является корнем многочлена f(x) P[x] тогда и только тогда, когда (f(x) (x-c))
- 1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
- 2.Нод чисел, его свойства, алгоритм Евклида. Нок чисел.
- 3. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства. Классы вычетов по модулю m.
- 4. Вычеты и операции над ними, кольцо вычетов.
- 5. Кольцо вычетов. Сравнения в кольце вычетов, решение сравнения ax≡1(mod m).
- 7.Примитивные, обратимые классы. Случай, когда кольцо является полем. Функция Эйлера, ее свойства. Теорема Эйлера. Теорема Ферма.
- 8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.
- 9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.
- 10.Циклические группы.
- 11.Нормальные подгруппы и факторгруппы.
- 12.Гомоморфизм групп, его виды, примеры. Ядро гомоморфизма, его свойства.
- 13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.
- 14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
- 15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.
- 16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
- 17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
- 21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
- 22.Линейное отображение векторных пространств, его матрица. Линейные преобразования векторных пространств.
- 23. Собственные значения, собственные векторы, их свойства.
- 24.Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространстве. Евклидово и унитарное пространство. Матрица Грама.