Свойства равномерно сходящихся рядов

Непрерывность суммы ряда

Рассмотрим функциональный ряд

Все члены которого – функции непрерывные на функции. Известно, что сумма непрерывных функций есть непрерывная функция, но это верно для конечного числа слагаемых. Любая частичная сумма ряда ( )

Является функцией непрерывной на . Возникает вопрос: является ли непрерывной сумма ряда ( ), который состоит из бесконечного числа функций непрерывных на отрезке? Оказывается , существуют ряды из непрерывных функций, которые имеют разрывную сумму.Пример . .

Теорема. Если члены ряда - непрерывные на отрезкефункции и ряд сходится равномерно, то и его суммаесть непрерывная функция на отрезке.

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.