Признак Коши (радикальный признак)

Теорема. Если для ряда с неотрицательными членами существует предел

то ряд сходится при и расходится при.

Доказательство. Из условия ( . ) следует, что для произвольного справедливы неравенства

Пусть , тогда выбираятаким образом, чтобы величина. В этом случае все члены ряда меньше соответствующих степеней бесконечной сходящейся геометрической прогрессии, т.е. в силу теоремы о сравнении ряд сходится.

Пусть теперь , тогда выберемтаким, чтобы. В этом случае необходимое условие сходимости ряда не выполняется, т.е. ряд расходится. Теорема доказана.

Пример . . Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Коши:

.

Следовательно, ряд сходится.

Пример . . Определить сходимость ряда .

Решение.

,

т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.