Ряды с неотрицательными членами

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены, т.е. последовательность частичных сумм была ограничена.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится. А сходящаяся последовательность – ограничена.

Достаточность. В силу того, что последовательность частичных сумм ряда является ограниченной и монотонной, то она сходится в силу теоремы о достаточном признаке существования предела (Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел).