Функциональные ряды

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называетсясходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм.

Предел последовательности называетсясуммой ряда в точке.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых ряд сходится называетсяобластью сходимости ряда.

Определение. Ряд называетсяравномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частичных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числасуществовал такой номер, что прии любом целомнеравенство

выполнялось бы для всех на отрезке.

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке, если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что.

При этом известно, что обобщенный гармонический ряд при=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример . . Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалахрасходится.