Построение и анализ математической модели

Результаты выполнения этапа «Формирование концептуальной модели» оформляются в виде постановки прикладной задачи моделирования (иногда ее называют техническим заданием на проектирование модели исследуемого объекта). Хотя структура такого документа не регламентирована, целесообразно включить в него следующие пункты.

1. Наименование задачи, отражающее ее сущность, и ее краткое обозначение.

2. Цель разработки модели, т.е. содержание вопросов, которые стремятся решить с помощью данной модели.

3. Организационно-экономическая сущность задачи, в том числе принципиальная новизна, возможность внедрения в существующие системы, пути получения экономического эффекта.

4. Постановка задачи, где формулируется содержание задачи в формально-операторной или словесной форме с указанием критериев оптимальности и ограничений, т.е. описывается концептуальная модель объекта. Концептуальная модель может сопровождаться комплексом служебных моделей: иерархической, внутренней структуры, моделей отдельных операций, информационно-процедурных и т.д., поясняющих ее содержание.

5. Описание входной информации модели (числовые значения известных характеристик, параметров процесса, начальных условий) и вид ее задания (таблицы, графики, отдельные числовые значения, диапазоны изменения, законы распределения вероятностей и т.п.).

6. Описание возможных альтернатив решения поставленной задачи, состав переменных, их диапазоны изменения.

7. Периодичность и расписание решения – указываются либо интервалы времени между двумя решениями, либо моменты, в которые требуется решить задачу, либо условия, при которых становится необходимым ее решение. Задаются приемлемое время, затрачиваемое ЭВМ на решение задачи, и режим ее работы (в реальном масштабе времени или в пределах допустимого времени).

8. Вид представления результатов моделирования (управляющие сигналы в масштабе реального времени либо результаты счета, представляемые массивами чисел, графиками, таблицами, табуляграммами и т.д.).

9. Точность определения искомых характеристик.

10. Тип ЭВМ и языки программирования, на которых желательно решение задачи.

11. Календарный план проведения разработки модели и получения результатов и другие вопросы организационного и финансового содержания.

При формулировке прикладной задачи моделирования особое внимание следует обратить на фактор времени. Фактор «время» применительно к модели может принимать различные смысловые значения. Прежде всего для определения временной области использования разрабатываемой модели необходимо установить предполагаемую дату ввода модели в эксплуатацию Т_Н.

Календарную дату снятия модели с эксплуатации Т_Мв процессе разработки модели установить нельзя, но можно и нужно определить условия, при которых модель нуждается в снятии с эксплуатации и доработке, а может быть, и замене новой моделью. К таким условиям относятся изменения в структуре окружения или в структуру моделируемого объекта, приводящие к изменения структуры модели: введению новых факторов, появлению новых или отмене действующих критериев или ограничений, замене функциональных соотношений между переменными, изменению состава элементов объекта, связей между ними и т.п. Они вытекают из сценария функционирования объекта и обязательно оговариваются в п. 3 технического задания.

Изменение значений отдельных факторов в процессе функционирования объекта приводит к необходимости неоднократного использования модели в течение периода ее жизни и появлению временного параметра Т_Р– периода времени между расчетами по модели, определяющего регламент ее использования. В зависимости от целей, которые ставит перед собой заказчик, параметрТ_Рможет быть величиной постоянной или переменной. Специфика работы объекта может потребовать строгого периодического нахождения по модели его оптимальных параметров (например. составление ежемесячного плана предупредительного ремонта оборудования по результата его предшествующей эксплуатации).

Для оптимизационных моделей необходимость повторных расчетов определяется изменением входных характеристик моделей, приводящих к выходу расчетных показателей модели за пределы допуска (другими словами, определенное ранее оптимальное решение становится неоптимальным и требуется провести перерасчет). Условия проведения повторных расчетов, определяющие регламент использования модели, формируется в п.7 технического задания.

Моделируемая операция охватывает определенный временной период функционирования объекта Т_М, например, модель формирования годовой производственной программы предприятия. Однако в ряде случаев в модели бывает необходим учет ретроспективных или перспективных данных, что приводит к увеличению периода протекания операцииТ_М. Так, при условии значительных опережений (например, 6 месяцев) вы изготовлении деталей по отношению к сборке для модели формирования годовой производственной программы следует рассматривать уже полуторагодовой период.

В динамических моделях всегда присутствует фактор текущего «модельного» времени t_М, изменение которого сопровождается изменением состояния объекта, т.е. изменением как промежуточных факторов, так и с итоге выходных характеристик объекта. Таким образом, в описании модели обязательно должны быть отражены характеристикиТ_Н (Т_К), Т_Р, Т_М, t_М.

С формальной точки зрения назначение каждого объекта (или его отдельного элемента) состоит в том, чтобы преобразовать входные сигналы в выходные. Описательная математическая модель для любого объекта могла бы представлять систему соотношений вида

, (2.11)

где w_l– выходные характеристики объекта;– факторы, на базе которых строится модель объекта (параметры, характеристики окружения, начальные условия, время);.

Однако на практике получение адекватной исследуемому явлению модели такого вида, когда характеристики процесса являются явными функциями от входных факторов, бывает достаточно редко. В общем случае для сложных производственно-экономических систем эта задача может оказаться непосильной, что существенно сужает область использования «классических» методов исследования экономических операций (линейное, нелинейное и динамическое программирование, теория массового обслуживания, задача управления запасами, ремонта и замены оборудования и др.). Поэтому для описания и исследования таких объектов в последнее время стало интенсивно развиваться новое направление – имитационное моделирование.

Математическая формализация

Чтобы моделировать функционирование объекта, необходимо знать или предположить известными два из трех элементов. В связи с этим при моделировании отдельных компонентов или элементов объекта сталкиваются с задачами трех типов. Если известны уравнения, описывающие поведение объекта, то путем решения прямой задачи можно найти реакцию объекта на заданный входной сигнал. Обратная задача – по заданному математическому описанию и известной реакции найти входной сигнал, вызывающий этот отклик, – в практике моделирования производственно-экономических систем встречается редко. Если математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупности входных и соответствующих им выходных сигналов, имеем дело с задачей идентификации объекта.

Основным методом решения задач идентификации при моделировании производственно-экономических объектов является метод «черного ящика», или, как его еще называют, кибернетическое моделирование.

Сущность метода состоит в том, что при исследовании объектов они рассматриваются как недоступный для наблюдения, изучения и описания «черный ящик», имеющий определенные входы и выходы. Вследствие сложности устройства «черного ящика», т.е. изучаемого объекта, возможно лишь наблюдать состояние входов в него и соответствующих им выходов, т.е. изучать поведение, не зная его внутреннего устройства. Так, например, в экономических исследованиях дл нахождения производственной функции входами считают затраты ресурсов , а выходами – произведенную продукцию. Сопоставляя входы и выходы за ряд моментов времени, находят такие параметры производственной функции, при которых вычисленные по этой зависимости значенияyпри заданных входах лучше всего аппроксимируют фактические значения выходов. Для определения формы математического описания в задачах идентификации используются методы регрессионного анализа.

Однако, как бы детально не изучалось поведение «черного ящик» нельзя вывести обоснованного суждения о его внутреннем устройстве, ибо одним и тем же поведением могут обладать различные объекты, а одно и то же соотношение между входами и выходами может в пределах имеющихся статистических данных удовлетворительно описываться несколькими различными математическими выражениями. Кроме того, применение метода «черного ящика» для описания функционирования сложных объектов с большим числом входов и выходов редко когда бывает удачным. Это связано с тем, что с увеличением числа факторов регрессионной модели обычно падает ее достоверность. Как показывает практика, удовлетворительные модели получаются при описании ситуации, в которой выходной фактор существенно связан не более чем с пятью-шестью входными факторами. Это обстоятельство определяет границы использования метода «черного ящика».

Как уже отмечалось выше, не во всех случаях возможно дать формализованное описание работы объекта как единого целого без разбивки его на отдельные элементы-модули.

При решении прямой задачи для каждого модуля, соответствующего элементарному процессу, проводится выбор метода математического описания, на базе которого будет строиться соответствующая модель поведения. Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого элемента, достаточно широкого круга экономико-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение моделирования. Так как для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно удобное и проверенное практикой математическое описание, в первую очередь нужно обратиться к типовым математическим методам и схемам, использовать их для формализации и лишь при необходимости создавать оригинальные зависимости.

При развитой системе математического обеспечения ЭВМ, на которой предполагается проводить моделирование, целый ряд процедур может быть выполнен с помощью имеющихся стандартных средств. Если разработчик модели знает систему математического обеспечения конкретной ЭВМ, то это позволяет ему привести ряд модулей разрабатываемой модели к виду, позволяющему использовать стандартные программы или пакеты прикладных программ.

Оригинальные уравнения можно вывести в ходе обследования объекта, написать на основе предыдущих исследований подобных систем. Для построения математических моделей элементарных процессов, протекающих в соответствии с определенными законами, используются формульные выражения этих законов. Необходимые формулы берут либо из технической и научной литературы, либо выводят с помощью специально поставленных экспериментов. Статистические физические процессы обычно описываются алгебраическими уравнениями, а динамические – дифференциальными или конечно-разностными.

В итоге проведения формализации для каждого элементарного процесса-модуля создается его математическая модель. При разработке математических моделей элементарных процессов-модулей общей математической модели переменные в модели элементарного процесса обычно рассматриваются независимо от переменных в моделях других элементарных процессов, т.е. сначала разрабатываются частные модели. Только после окончания разработки проводиться стыковка их по ходам и выходам в единую математическую модель объекта. Совокупность математических моделей для отдельных модулей, рассматриваемых совместно, в общем случае не составляет математической модели для исследуемого процесса, а пока характеризует лишь отдельные изолированные элементы системы. Поэтому после формализации отдельных модулей производится их объединение в общую математическую модель, для чего в нее, если это необходимо, вводятся логические блоки, передающие управления от одного модуля к другому. Для этого логические условия формализуются в виде равенств или неравенств. Полученная совокупность соотношений явится описательной математической моделью исследуемого объекта. Формализация критерия оптимальности целевой функции переводит описательную модель в оптимизационную.

В самом общем виде многокритериальная оптимизационная математическая модель представляется соотношениями

(2.12)

. (2.13)

В оптимизационной математической модели, определяемой выражениями (2.12) и (2.13), выходные факторы объекта w_lмодели (2.11) в записи не отражены, хотя, естественно, и критерий, и ряд ограничений определяются через эти характеристики. Множество входных факторов моделии входных факторов ее отдельных модулей в записи модели (2.12) – (2.13) подразделяется на переменные объекта, константыи, случайныеи неопределенныефакторы.

Численное представление модели

Для получения модели е реализации на ЭВМ необходимо дать ему численное представление, т.е. поставить значение всех числовых констант (детерминированных факторов) модели, различных эмпирических и статистических коэффициентов в выявленные зависимости.

Задание числовых констант при реализации модели на ЭВМ никаких принципиальных трудностей не представляет. Наибольшие осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации или информации, получаемой в результате специально поставленных экспериментов при решении задачи идентификации. Кроме того, информация, получаемая в результате обследования и экспериментирования с объектом, может быть представлена в графической форме. Графические зависимости элементарно переводятся в табличную форму путем замены их дискретным представление по отдельным точка графика. Но ни графическая, ни табличная форма задания информации неудобны при моделировании на ЭВМ по следующим причинам:

• современные серийные универсальные ЭВМ не снабжены периферийными устройствами для чтения графиков;

• при табличной форме записи информации нельзя непосредственно получать значения функции для промежуточных значений аргументов, не являющихся элементами таблицы;

• таблицы занимают в памяти ЭВМ много места, в программе расчетов необходимы специальные операторы для обращения к тем или иным элементам таблиц.

В связи с этим зависимости, заданные графически или таблично, представляют в аналитической форме, т.е. в виде алгебраических уравнений. Например, в место таблиц частот для значений случайных величин используются аналитические выражения функций плотности законов распределения, которые с достаточной точностью представляют упомянутые частоты. Многие таблицы и графики заменяются интерполяционными полиномами. Такие замены, не влияя существенно на точность математического описания, позволяют сделать математическую модель достаточно удобной для дальнейшего исследования.

Основными методами преобразования табличных значений к аналитическому виду являются интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Известно, что через любые n+1точки можно всегда провести кривую, описываемую полиномомn-й степени, так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек. Эта кривая называется интерполирующей, а процесс ее нахождения – интерполяцией. Математические методы нахождения интерполяционных уравнений рассматриваются в литературе по вычислительной математике. Однако в практике моделирования производственно-экономических объектов применяются интерполяционные полиномы невысоких степеней, в первую очередь для вычисления промежуточных значений отсутствующих в таблице. Простейшим случаем является линейная интерполяция, т.е. интерполяция функцииf(x)линейной функцией по двум узлам:и.

Приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента, т.е. если и, то

.

Величина называется интерполяционной поправкой. Для получения более «гладкого» вида интерполирующей кривой при линейной интерполяции применяются формулы Ньютона для равноотстоящих и неравноотстоящих промежутков между значениями аргументов. При параболической и квадратичной интерполяции полином второй степени записывается по формуле Лагранжа. Программы интерполяции входят в стандартное математическое обеспечение ЭВМ.

Во многих случаях для функции, заданной таблично или графически, бывает целесообразно подобрать аналитическое выражение, приближенно ее отражающее. Такой процесс называется приближенной интерполяцией или аппроксимацией. Для приближения заданной функцииf(x)выбирают аппроксимирующую функцию из классов математических функций, в наибольшей степени соответствующих специфике протекания исследуемого процесса.

Наибольшее распространение в практике экономических исследований получили следующие функции:

линейная ;

степенная ;

экспоненциальная ;

показательная .

Процесс подбора эмпирической формулы для установленной из опыта функциональной зависимости является итерационным и распадается на две части: выбирается вид формулы; определяются числовые значения параметров, для которых приближение к данной функции оказывается наилучшим.

Для решения первой задачи по экспериментальным данным строятся графики, по которым и выбирается вид аппроксимирующей зависимости. Для решения второй задачи существует ряд методов приближения эмпирической кривой к экспериментальной, таких как равномерное приближение, приближение по методу наименьших квадратов, приближение в отдельных точках.

Особую роль вопросы экономного представления табличной информации в аналитическом виде играют при обработке статистической информации, в связи с чем в рамках математической статистики получили развитие разделы однофакторного и многофакторного регрессионного анализа. Программы обработки статистических данных методами регрессионного анализа также представлены в стандартном математическом обеспечении ЭВМ.

Экстраполяция– это продолжение интерполяции и аппроксимации за пределы диапазона статистических данных. Если исследуемый фактор – время, то это прогнозирование в будущее. Предположение, что действие различных факторов, обусловливающих явление в прошлом, остается неизменным в течение будущего периода или будет меняться в соответствии с расчетной кривой, позволяет прогнозировать это явление в будущем. Различают экстраполяцию формальную и прогнозную.

Формальная экстраполяция сводится к математически оптимальной подгонке исходного статистического ряда к какой либо аппроксимирующей функции. Единственным критерием оптимальности выступает близость точек ряда к аппроксимирующей функции, и в этом смысле она ничем не отличается от аппроксимации. С точки зрения задач прогнозирования формальная экстраполяция не всегда является удовлетворительной, т.к. она не увязывает выявленную тенденцию с гипотезами о развитии процесса, сделанными на основе логического анализа и существа процесса, и, следовательно, не всегда дает учесть пределы развития процесса.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов.

Формальная математическая экстраполяция входит в прогнозную как одна из ее частей. Этапы прогнозной экстраполяции: предварительная обработка исходного ряда; выбор типа аппроксимирующей функции; расчет параметров аппроксимирующей функции; экстраполяционная оценка точности и достоверности результатов.

Анализ полученной модели и выбор метода ее решения

Основой для вычисления значений выходных характеристик описательной модели служит составленный на ее базе алгоритме решения задачи ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма при соответствующих навыках принципиальных сложностей не представляет. Более сложной является организация вычислительного процесса для нахождения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для большого числа факторов модели. В ряде случаев в решении этой задачи могут оказать помощь методы оптимального планирования экспериментов.

Значительно большие вычислительные трудности вызывает поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому процессу математическая модель без нахождения метода поиска оптимальных значений бесполезна и не может быть практически использована. Эти методы зачастую рассматриваются в рамках направления, которое в настоящее время получило название теории принятия оптимальных решений.

Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальных решений играют характер факторов математической модели, число критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи.

В зависимости от характера факторов, на базе которых построена оптимизационная модель, различают принятие решений при определенности, риске, неопределенности, при сочетании риска и неопределенности.

Выбор решений при определенности осуществляется для детерминированных моделей, т.е. моделей, включающих только управляемые переменные и константыив выражения (2.12) и (2.13). При этом каждому набору переменных соответствует единственное значение целевой функции.

Выбор решений при риске происходит в случае стохастических моделей, т.е. моделей, включающих переменные , константыии случайные факторыс известными законами распределения. В этом случае определенному набору переменных соответствует множество частных (случайных) результатов, причем вероятности этих результатов лицо, принимающее решение, может определить путем многократного проигрывания модели на ЭВМ.

Выбор решения при неопределенности имеет место для моделей, включающих переменные , константыии неопределенные факторы. При этом набору переменных соответствует множество возможных частных результатов, зависящих от значений неопределенных факторов.

Понятие решений по многим критериям оптимальности характеризуется наличием специальных критериев, на основе которых, как правило, формируется единая целевая функция оптимизационной модели.

Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного из трех основных методов решения экономико-математических моделей: аналитического исследования; исследования при помощи численных методов; исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

Аналитические методыотличаются тем, что помимо точного значения искомых переменных они могут давать оптимальные решения в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменять в широких пределах, не меняя самой формулы. Это очень удобно, поскольку, варьируя эти факторы, можно охватить широкий круг условий функционирования объектов рассматриваемого класса. Однако на практике таких моделей сравнительно немного, и применяются они для ограниченного числа довольно простых задач. К аналитическим методам относятся, например, методы нахождения безусловного экстремума и множителей Лагранжа для задач на условный экстремум и ряда других.

При численных методахоптимальное решение получается путем многократных расчетах по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычислений используются числовые значения параметров объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы являются итеративными процедурами: для проведения следующего шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) используются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и тем самым находить оптимальные решения. Численные методы, хотя и дают оптимальные решения лишь для конкретных значений факторов модели, применяются значительно шире. Они являются основным методом решения для моделей математического программирования, к которым сводится значительная часть производственных оптимизационных задач.

Характерной особенностью численных методов является то, что для типовых формулировок моделей математического программирования они разработаны не только для уровней принципов оптимизации и алгоритмов, но и до уровня программ, входящих в состав математического обеспечения большинства современных ЭВМ. Вновь разрабатываемые программы отдельных численных методов помещаются в Общегосударственный фонд алгоритмов и программ. Это освобождает разработчика моделей от необходимости разрабатывать алгоритмы и программы поиска оптимального решения для моделируемого объекта, существенно сокращает процесс получения результатов.

Первые два метода нахождения оптимальных решений ЭВМ могут быть применены только для моделей математического программирования, т.е. однокритериальных моделей, в которых единственная целевая функция и ограничения заданы аналитически.

Все алгоритмические, в том числе и имитационные, модели представляют собой модели типа «черного ящика». Алгоритмические модели не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются пользователем. Это означает, что они обеспечивают расчет значений выходных характеристик при наличии на входе модели всей необходимой информации. Поэтому для получения полной информации о поведении моделируемого объекта необходимо осуществлять многократный прогон модели при всевозможных значениях параметров объекта и характеристик внешней среды.

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которых базируется алгоритм поиска оптимальных решений, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи с чем для решения моделей этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

При экспериментальной оптимизации на ЭВМ производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу исследуемой системы. Методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ базируются на принципах поиска оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них все работы по разработке алгоритмов и программы оптимизации выполняет разработчик модели. Имитационное моделирование задач, содержащих случайные параметры, принято называть статическим моделированием.

Поиск оптимальных решений по имитационным моделям, особенно по имитационным статистическим моделям, чрезвычайно трудоемок. В настоящее время наметилось два пути решения этой проблемы: использование теории планирования экспериментов и разработка тех или иных эвристических правил поиска, основанных на формализации действий человека, принимающего решение. Имитационные ЭВМ, оптимизация решения которых основана на эвристических правилах выбора наилучшего варианта, принято называть эвристическими моделями, а их использование – эвристическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения модели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет всех факторов при построении модели и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

1. Перечислите основные цели, для которых строится математическая модель сложного объекта. Раскройте их содержание.

2. Перечислите основные задачи, решение которых необходимо для построения математической модели объекта и управления им.

3. Какие источники получения информации для построения математической модели сложного объекта Вы знаете?

4. Какие вопросы необходимо решать на стадии подготовки исходной информации в процессе обследования объекта управления и его окружения?

5. Перечислите в необходимом порядке основные этапы построения сценария процесса функционирования моделируемого объекта управления

6. Раскройте суть основных процедур построения канонической модели объекта управления. составляющих содержание 1-го этапа формирования сценария функционирования моделируемого объекта.

7. Как проводится классификация факторов при формировании концептуальной модели по признаку возможности количественного описания?

8. Как проводится классификация факторов при формировании концептуальной модели по степени определенности?

9. Как проводится классификация факторов при формировании концептуальной модели по их роли в модели?

10. Каков состав и содержание основных процедур построения иерархической структуры объекта управления? Как представляется иерархическая структура модели объекта

11. Каков состав и содержание основных процедур построения канонических моделей для отдельных элементов объекта управления? Опишите основные правила согласования всего множества их входов и выходов

12. Как осуществляется изучение места и роли каждого элемента модели внутренней структуры объекта в процессе его функционирования?

13. Как должна осуществляться увязка элементарных процессов в единую модель функционирования объекта на одноименном этапе формирования сценария функционирования объекта управления?

14. Чем иллюстрируется описание функционирования объекта управления? Что составляет суть технологической карты и технологической диаграммы? Что такое многофункциональная диаграмма операций? Приведите примеры.

15. Дайте определение и представьте назначение концептуальной модели. Что такое цель и критерий управления? Представьте основные виды целей управления и основные формы критерия управления. Роль фактора времени в критерии управления.

16. Представьте и объясните структуру системы управления с обратной связью. Что такое обратная связь и ее роль в процессе управления?

17. Представьте и объясните структуру иерархической системы управления

18. В чем суть процедур формирования дерева целей. Проиллюстрируйте их на графическом примере.

19. Как осуществляются процедуры формирования критериев и и ограничений. Представьте очередность их проведения.

20. Представьте основную суть методов и процедур отбора существенных факторов при формировании математической модели

21. Опишите основную суть использования методов математической статистики при моделировании сложных экономических систем и объектов

22. Что Вам известно об использовании и сути использования методов экспертных оценок при математическом моделировании экономических процессов и систем?

23. В чем суть основных операций установления качественных зависимостей при формировании математической модели?

24. Опишите основные процедуры этапа моделирования: построение и анализа математической модели

25. В чем суть выполнения этапа моделирования: численное представление математической модели? Что такое аппроксимация? Приведите виды основных аппроксимационных функций. Что такое интерполяция?

26. Опишите этап моделирования: анализ полученной модели и выбор метода ее решения. Приведите классификацию основных методов решения математических моделей.

27. В чем суть аналитических методов решения математических моделей?