По результатам для дискретных факторов

Набор значений переменных, при котором достигается максимальное (минимальное) значение математического ожидания, является оптимальным.

На практике способ осреднения по результату реализуют с помощью метода статистического моделирования. Обобщенный алгоритм этого метода следующий:

1. Для каждой из случайных величин y_kпроизводят случайное испытание при соответствующем законе распределения с параметрамии вычисляют ее значение.

2. Эта операция повторяется до тех пор, пока не будут найдены значения все случайных величин .

3. Используя найденные величины , вычисляют частное значениеeпо заданной функции.

4. Операции 1. 2, 3 повторяют до тех пор, пока не будет получено Nзначений функциие.

5. На основании найденных значений eвычисляют плотность распределения вероятностей, а затем математическое ожиданиеи дисперсиюслучайной величиныe. Эта величина может быть теперь записана в виде, где,задаются как функция входных величин или параметров.

В связи с тем что при статистическом моделировании математическая модель задана в виде моделирующего алгоритма, для поиска оптимальных решений обычно используют метод экспериментальной последовательной оптимизации на ЭВМ.

Способ осреднения по результату не ликвидирует влияние на результат фактора случайности. Результат каждого отдельного расчета, осуществляемого при случайных заранее не известных значениях величины , может сильно отличаться от ожидаемой средней как в лучшую, так и в худшую сторону, однако при многократном повторении расчетов эти различия в среднем сглаживаются. Для того чтобы составить представление о том, каков риск в каждом отдельном случае, желательно кроме математического ожидания интересующего показателя оценивать также и его дисперсию.

Метод статистического моделирования, реализующий способ осреднения по результату, основан на общих теоремах теории вероятностей, не содержит никаких ограничений и может быть применен к решению любой задачи, а при достаточно большом числе реализаций от него можно требовать любой точности. Указанные достоинства метода обусловили его широкое применение для решения самых сложных задач моделирования производственных процессов.

Вместе с тем метод статистического моделирования обладает и недостатком – большой трудоемкостью расчетов, поэтому стал широко применяться только с момента развития электронной вычислительной техники. Использование теории оптимального планирования экспериментов позволяет сокращать объемы расчетов без снижения точности за счет целенаправленного формирования статистических выборок.

Сокращению объема вычислений способствует также следующий прием. На первом этапе оптимизации используется способ искусственного сведения к детерминированной схеме; на втором – способ осреднения по результату, где начальным для проведения оптимизации является оптимальное решение предыдущего этапа.

Принятие решений при наличии неопределенных факторов

Для принятия решений в условиях природной неопределенности в ряде случаев можно использовать аппарат теории статистических решений, однако для организационно-экономических систем подобные неопределенности не являются превалирующими. Чаще всего неопределенные факторы представляют собой переменные, управляемые «противником»; диапазон изменения каждого неопределенного фактораопределяется возможностями «противника», величиной его ресурсов. Область существования этих факторовлибо известна исследователю, либо им предполагается. Возможные действия «противника» проявляются в виде стратегий его поведения – набора значений неопределенных факторов, принадлежащих.

Действия исследователя также формулируются в виде стратегий – набора значений управляемых переменных x, удовлетворяющих системе ограничений модели.

Значения целевой функции определяются выражением

,

где –m–й набор значений переменных, т.е.m-я стратегия исследователя–p-й набор значений неопределенных факторов, т.е.p-я стратегия противника.

В качестве носителя информации в задачах принятия решения при неопределенности выступает так называемая платежная матрица (табл. 3.2), элементами которой являются значения целевых функций.

С вычислительной точки зрения моделирование процессов с учетом неопределенных факторов заключается в многократном расчете по модели значений целевой функции для всех сочетаний стратегий исследователя и противника, т.е. заполнение матрицы, приведенной в табл.3.2.

При этом исследователь должен заранее определить наборы значений управляемых переменных и неопределенных факторов или задать алгоритм их вычисления на ЭВМ. При вычислении на ЭВМ значений целевой функции любой набор значений неопределенных факторов всегда представляет собой набор детерминированных констант.

Таблица 3.2. Типовая платежная матрица

Неопределенность этих факторов для исследователя заключается не в составе стратегии противника, а в том, какую же из этих стратегий противник может реализовать в рамках исследуемой ситуации. Именно в условиях неопределенности относительно реализации стратегий противника и должен принимать исследователь решение об оптимальности своих стратегий.

Для принятия решений о выборе наилучшей стратегии исследователя, т.е. оптимальных значений управляемых параметров, разработаны специальные критерии и методы, которыми может пользоваться лицо, ответственное за принятие решений, в зависимости от создавшейся ситуации, собственной подготовленности, а также накопленного опыта и личных качеств.

Жизненная необходимость анализа конфликтных ситуаций и принятия решения в условиях неопределенности, создаваемой активными противодействующими усилиями нескольких участников операций, вызвала к жизни специальный математический аппарат – теорию игр.

Задача теории игр – выработка рекомендаций по выбору рационального образа действий участников многократно повторяющегося конфликта. В настоящее время теория игр как математическая теория конфликтных ситуаций представляет собой емкую математическую дисциплину. Развита теория антагонистических и неантагонистических игр, позиционных, дифференциальных и т.д.

Для нахождения решения в конфликтных ситуациях, реализуемых ограниченное число раз или всего один раз, рекомендации теории игр теряют свой смысл. В антагонистических конфликтных ситуациях выбор оптимального решения основывается на теории минимакса (максимина), базирующейся на максимином критерии (критерии Вальда).

Применение данного критерия обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при выборе определенной стратегии. Иначе говоря, для каждой стратегии выбирается наименьшее из значений, т.е.. Затем, сравнивая между собой наименьшие из выбранных значений, выбирают ту стратегию, у которой значениеE_mвыше:.

Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения.

В том случае, когда имеются сомнения в отношении целей других участников операции, однако есть уверенность, что эти цели не являются полностью противоположными целям функционирования объекта, т.е. ситуация не является антагонистической, для выбора оптимального решения предложен ряд критериев.

Максимальный критерийоснован на предположении, что другой участник операции действует заодно с исследователем, их цели совпадают. Вследствие этого оптимальным решение являются стратегии участников операции, приводящие к получению наибольшего значения критерия оптимальности в платежной матрице. Этот критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на действия другого участника операции

Критерий пессимизма-оптимизма(критерий Гурвица) позволяет учитывать комбинации наихудших и наилучших состояний. Для этого каждой стратегииставится в соответствие выражение вида

,

где – наименьшее и наибольшее значения критерия оптимальности дляm-й стратегии; γ – показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значение от 0 до 1.

Оптимальной считается стратегия с более высоким значением выражения

.

Выбор величины γ определяется лицом, принимающим решение, экспертным путем на основании учета различных качественных факторов, характеризующих взаимодействие объекта с окружением. При γ = 1 критерий ; при γ = 0 критерий.

Критерий недостаточного основания(критерий Лапласа) дает возможность определить оптимальное действие тогда, когда совершенно неизвестно, какая из стратегий противника может иметь место; все стратегии считаются равновероятностными:

.

Оптимальной будет та стратегия, для которой сумма значений математического ожидания критерия по всем стратегиям противника будет максимальной.

Критерий минимакса сожалений(минимаксного риска) (критерий Сэвиджа). Матрице решений, выраженной в определенных значениях критерияE_mp, ставится в соответствие новая матрица решений, выраженная в так называемых рискахr_mp.

Значения r_mpопределяются как разность между максимальным значением столбцаи соответствующими значениями данного столбца, т.е.

.

Из множества решений, оптимальных по отдельным критериям, основываясь также на специфике задачи и неформализуемой информации, руководитель может выбрать наилучшее решение.