Поиск решений при наличии в модели случайных и неопределенных факторов

Для того чтобы задача поиска оптимального решения могла быть классифицирована как задача принятия решения в условиях риска, необходимо, чтобы все случайные факторы были для исследования статистически полностью определены, т.е. для k-го случайного фактораy_kдолжен быть известен закон распределения вероятностей появления его отдельных значенийp(y_k).

Значение целевой функции стохастической модели зависит от управляемых переменных, констант и значений случайных факторов, поэтому результаты моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации, не могут объективно характеризовать изучаемый объект:

;

, (3.6)

где e^l– случайное значение целевой функции дляl-й реализации случайных факторов.

В связи с этим при нахождении оптимальных значений переменных стохастическую задачу принятия решений сводят к детерминированной одним из двух принципиально различных способов: искусственное сведение к детерминированной модели; осреднение по результату.

В первом случае вероятностная картина явления приближенно заменяется детерминированной: вместо законов распределения все включенные в модель случайные факторы заменяются их математическими ожиданиями, в результате чего стохастическая модель переходит в детерминированную. Этот способ используется всегда при переводе случайных факторов в детерминированные на этапе выбора существенных факторов модели.

Во всех ли случаях правомерна такая замена? Ответить на этот вопрос можно простейшим примером. Пусть результат функционирования системы eзависит от закона распределения случайной величиныy. Проверим, будет ли выполняться равенство

. (3.7)

а) Линейная функция e = a+by

.

Равенство (3.7) справедливо.

В) Нелинейная функция

,

т.е. равенство (3.7) несправедливо. Имеется смещение математического ожидания целевой функции на величину . Таким образом, допущение о возможной замене случайных величин их математическими ожиданиями в общем случае неверно.

Искусственное сведение к детерминированной модели не приводит к погрешностям в расчетах математического ожидания результата только в тех случаях, когда целевая функция и ограничения зависят от случайных факторов линейно.

Нелинейность математической модели приводит к возникновению погрешностей расчета тем больше, чем больше нелинейность. Поэтому этот способ применяется преимущественно в грубых, ориентировочных расчетах, а также в тех случаях, когда диапазон возможных значений случайных величин сравнительно мал, т.е. они без большой натяжки могут рассматриваться как неслучайные величины. Основание для его использования может служить значение коэффициента вариации случайной величины, определяемой как

,

где – среднее квадратическое отклонение случайного фактораy;– математическое ожидание случайного фактораy.

Если коэффициент вариации менее 15 –20%, то замена случайного фактора его математическим ожиданием обычно не приводит к существенным погрешностям.

После сведения стохастической модели к детерминированной для поиска оптимальных решений используются аналитические, численные и экспериментальные методы поиска экстремума. Выбор того или иного метода определяется свойствами преобразованной к детерминированному виду математической модели.

Способ осреднения по результату более сложен и применяется в тех случаях, когда разброс случайных факторов велик и замена каждого из них его математическим ожиданием может привести к большим ошибкам. Он состоит в замене случайной целевой функции (3.6) ее статистической характеристикой – математическим ожиданиям

(3.8)

где p(y₁,…,y_k)– многомерный закон распределения случайной величины.

При оптимизации по целевой функции (3.8) выбираются такие значения , которые приводят к максимизации (минимизации) математического ожидания:

.

При этом, естественно, выполняются все ограничения математической модели.

В связи с тем, что результат, полученный при воспроизведении единственной реализации, не может характеризовать воспроизводимый процесс в целом, приходится анализировать большое число таких реализаций. Только тогда по закону больших чисел получаемые оценки приобретают статистическую устойчивость и могут быть приняты с достаточной точностью за оценки искомых величин.

Аналогом выражения (3.8) для дискретных факторов служит выражение

,

где –m-й набор значений переменных–l-й набор значений случайных факторовp_l– вероятность появленияl-го набора случайных факторов;е_ml–значение целевой функции приm-м наборе значений переменных иl-м наборе значений случайных факторов.

Исходная информация о подобной ситуации заносится в таблицу (табл. 3.1); в последней графе каждой строки записываются результаты расчета математического ожидания целевой функции.

Таблица 3.1. Исходная информация для принятия решения при осреднении