Метод ітерацій для рішення рівнянь

Мова йтиме про відшукання корінь рівняння

(3.3.1) ,

т.е. таких чисел , що при підстановці в рівняння замість символу числа виходить тотожність. Саме собою зрозуміло, що тут, як і всюди в цьому курсі, мова йде тільки про речовинні числа.

Відокремити корінь рівняння (3.3.1) - це значить знайти такий інтервал (a,b), що, в перших, містить корінь рівняння (3.3.1) і, по-друге, містить тільки один корінь цього рівняння. Доводиться, що якщо на кінцях деякого інтервалу (a,b) функція має різні знаки, а усередині цього інтервалу похідна знак не міняє, то в інтервалі (a,b) корінь рівняння (3.3.1) є й, притім, тільки один.

Припустимо, що за допомогою тотожних перетворень це рівняння наведене до виду

(3.3.2)

Тоді для довільного числа можна побудувати послідовність чисел Можна довести, що якщо в околиці передбачуваного кореня рівняння (3.3.1), те ця послідовність сходиться саме до цього кореня. Метод ітерацій для рішення рівнянь типу (3.3.1) полягає в тому, що спочатку відділяється корінь рівняння, потім воно перетвориться до виду (3.3.2) із правою частиною, що має похідну по модулі меншу, чим 1, на всьому відрізку, що відокремлює корінь, після чого будується послідовність для довільного з відрізка, у якому відділений корінь.

Процес побудови послідовності треба перервати тоді, коли два рази підряд вийде те саме число із заданим ступенем точності.

Варто спеціально підкреслити, що перетворення рівняння (3.3.1) до виду (3.3.2) з дотриманням умови для похідної є самостійною складною задачею, що вирішують у кожному конкретному випадку заново.