6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.

У тій же ситуації, що й вище, тобто при пошуку числа по числу й дорівнює равенству (6.4.1), існує ще один широко застосовуваний метод - метод Рунге-Кутта, що, як правило, швидше приводить до числа , чим метод Ейлера. Сформулюємо дії по методу Рунге-Кутта:

1й крок. Фіксуємо точність, з якої потрібно знайти значення . Позначимо це число через . Пояснимо, що це означає, що числа, що відрізняються менше, ніж на , уважаються однаковими.

2й крок. Фіксуємо довільне й розділимо відрізок на рівних частин:

, де .

3й крок. Побудуємо послідовність чисел

де

і

у якій, нагадаємо, . Позначимо через .

4й крок. Замінимо на й повторимо кроки 2 і 3. Отримане число (тобто останнє з обчислюються на кроці 3) позначимо тепер через .

5й крок. Якщо виявиться, що числа й відрізняються друг від друга менше, ніж на , то число вважається знайденим і рівним . У противному випадку перепозначимо через і повернемося до кроку 4.

Можна довести, що коли функція з (7.4.1) має безперервні частки похідні, описана процес обов'язково кінцевий і відповідь перебуває дійсно з кожної наперед заданою точністю.