Метод ітерацій для рішення рівнянь
Мова йтиме про відшукання корінь рівняння
(3.3.1) ,
т.е. таких чисел , що при підстановці в рівняння замість символу числа виходить тотожність. Саме собою зрозуміло, що тут, як і всюди в цьому курсі, мова йде тільки про речовинні числа.
Відокремити корінь рівняння (3.3.1) - це значить знайти такий інтервал (a,b), що, в перших, містить корінь рівняння (3.3.1) і, по-друге, містить тільки один корінь цього рівняння. Доводиться, що якщо на кінцях деякого інтервалу (a,b) функція має різні знаки, а усередині цього інтервалу похідна знак не міняє, то в інтервалі (a,b) корінь рівняння (3.3.1) є й, притім, тільки один.
Припустимо, що за допомогою тотожних перетворень це рівняння наведене до виду
(3.3.2)
Тоді для довільного числа можна побудувати послідовність чисел Можна довести, що якщо в околиці передбачуваного кореня рівняння (3.3.1), те ця послідовність сходиться саме до цього кореня. Метод ітерацій для рішення рівнянь типу (3.3.1) полягає в тому, що спочатку відділяється корінь рівняння, потім воно перетвориться до виду (3.3.2) із правою частиною, що має похідну по модулі меншу, чим 1, на всьому відрізку, що відокремлює корінь, після чого будується послідовність для довільного з відрізка, у якому відділений корінь.
Процес побудови послідовності треба перервати тоді, коли два рази підряд вийде те саме число із заданим ступенем точності.
Варто спеціально підкреслити, що перетворення рівняння (3.3.1) до виду (3.3.2) з дотриманням умови для похідної є самостійною складною задачею, що вирішують у кожному конкретному випадку заново.
- Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- 1.1. Про наближені обчислення
- 1.2. Лінійні заміни змінних
- 1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- 2.1.1. Перетворення Фур'є
- 2.2. Зворотна матриця
- 3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- 3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- 3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- 3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- Метод простих ітерацій
- Метод Зейделя
- Метод ітерацій для рішення рівнянь
- 4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- Лекція 6
- 6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- 6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- 6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- 8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- 8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- 8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- 8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- 9.1.Мова n-мірних точок.
- 9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- Список рекомендованої літератури