Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
Запишемо співвідношення (1.3.1) у вигляді жордановой таблиці:
| x1 | x2 | ... | xn |
b1= | a1,1 | a1,2 | ... | a1,n |
b2= | a2,1 | a2,2 | ... | a2,n |
... | ... | .... | ... | ..... |
bm= | am,1 | am,2 | ... | am,n |
Умовимося стовпець таблиці називати ненульовим, якщо серед чисел, що перебувають у ньому, є відмінне від нуля; у противному випадку стовпець буде називатися нульовим.
Переведемо за допомогою жордановых виключень максимальну кількість невідомих у ліву частину таблиці; отриманий результат досліджуємо.
Випадок 1. У таблиці не виявилося жодного розв'язного елемента (усе ). Якщо серед коефіцієнтів виявиться хоч один відмінний від нуля, то система несовместна. Якщо ж всі , то система має як рішення будь-який набір чисел .
Випадок 2. У таблиці розв'язні елементи виявилися й у результаті жордановых виключень ліворуч від таблиці виявилися тільки невідомі , а над таблицею всі вільні члени й кілька невідомих . У цьому випадку кожне з можна, дешифруючи відповідні рядки в таблиці, виразити лінійно через ті , які залишилися розташовані над таблицею. Виникає запис загального рішення.
Випадок 3. Те ж, що у Випадку 2, але тільки над таблицею змінних не залишилося, а ліворуч від таблиці розташовані все . У цьому випадку, дешифруючи рядка, ми одержимо точні значення невідомих . Система - певна.
Випадок 4. У результаті максимального числа жорданових виключень ліворуч від таблиці залишилися константи. Дешифруючи кожний рядок таблиці, ліворуч від якої коштує константа, на-до одержати рівність і з'ясувати його справедливість. Якщо хоч одне з таких рівність виявиться суперечливим (типу «5=6»), то система несовместна. У противному випадку виникне система рівностей, що описують загальне рішення.
Швидке перетворення Фур'є.
У попередньому пункті було описано дискретне перетворення Фур'є - зіставлення набору значень функції набору коефіцієнтів . Процес цього зіставлення в деяких випадках можна прискорити, спеціальним образом організувавши відповідні підсумовування.
Звернемося, для визначеності, до формули (7.2.3а). Припустимо, що число є складовим, тобто при натуральних . Розділимо з остачею число на й число (індекс підсумовування) на ; одержимо: . Помітимо, що в позначеннях, що утворилися, підсумовування по еквівалентне повторному підсумовуванню за схемою:
;
перетворимо тепер сумируемое вираження:
уведемо позначення:
;
тоді вираження (7.2.3а) представляється у вигляді:
.
Зовсім аналогічно можна провести міркування з коефіцієнтом , у результаті чого знову виникнуть ті ж ; у підсумку вийде:
звідси виникає співвідношення:
Звідси виникає інша можливість обчислення дискретного перетворення Фур'є, відмінна від прямого обчислення: треба спочатку знайти вираження , а потім уже самі числа ; буде потрібно, як неважко помітити, менше арифметичних операцій. Звідси й назва - «Швидке перетворення Фур'є.»
- Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- 1.1. Про наближені обчислення
- 1.2. Лінійні заміни змінних
- 1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- 2.1.1. Перетворення Фур'є
- 2.2. Зворотна матриця
- 3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- 3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- 3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- 3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- Метод простих ітерацій
- Метод Зейделя
- Метод ітерацій для рішення рівнянь
- 4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- Лекція 6
- 6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- 6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- 6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- 8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- 8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- 8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- 8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- 9.1.Мова n-мірних точок.
- 9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- Список рекомендованої літератури