Функциональные последовательности

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от , то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной сходиться, а при других – расходиться.

Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной , при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

В силу того, что пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

.

Определение. Последовательность сходится к функции на отрезке], если для любого числаи любой точкииз рассматриваемого отрезка существует номер, такой, что неравенство

выполняется при .

При выбранном значении каждой точке отрезкасоответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка, будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка, т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Последовательность называетсяравномерно сходящимся на отрезке , если для любого числасуществует номер, что для любогонеравенство

выполняется для всех точек отрезка .

Пример. Рассмотрим последовательность .

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции , т.к.

.

Построим графики этой последовательности:

sinx

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.