1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
Рассмотрим отношение делимости в кольце целых чисел. Говорят, что число m делится на n, существует такое целое число k, для которого m = kn. Число p называется простым, если все его делители несобственные и p>1. Множество простых чисел бесконечно. Теорема Евклида(Простых чисел бесконечно много) Доказательство. Докажем эту теорему методом от противного. Пусть p1, p2, …, pn – все простые числа. Тогда рассмотрим P= p1* p2* …*pn+1. Тогда P не простое, т.к. оно больше любого простого числа. Но оно не составное, т.к. не делится ни на одно из p1, p2, …, pn. Но натуральное число, большее 1 является либо простым, либо составным. Противоречие, значит простых чисел бесконечно много.Основная теорема арифметики: любое целое число можно разложить в произведение простых чисел единственным образом с точностью до порядка и знака множителей :
- 1.Отношение делимости в кольце целых чисел. Простые числа. Те-ма Евклида. Осн-я теорема арифм-ки.
- 2.Нод чисел, его свойства, алгоритм Евклида. Нок чисел.
- 3. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства. Классы вычетов по модулю m.
- 4. Вычеты и операции над ними, кольцо вычетов.
- 5. Кольцо вычетов. Сравнения в кольце вычетов, решение сравнения ax≡1(mod m).
- 7.Примитивные, обратимые классы. Случай, когда кольцо является полем. Функция Эйлера, ее свойства. Теорема Эйлера. Теорема Ферма.
- 8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.
- 9.Подгруппы. Классы смежности по подгруппе.
- 10.Циклические группы.
- 11.Нормальные подгруппы и факторгруппы.
- 12.Гомоморфизм групп, его виды, примеры. Ядро гомоморфизма, его свойства.
- 13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.
- 14.Подстановки. Симметричные группы, примеры.
- 15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.
- 16. Обратимые, ассоциированные многочлены, деление с остатком. Нод, нок многочленов и алгоритм Евклида. Теорема Безу.
- 17. Взаимно простые многочлены, их свойства.
- 21. Векторное пространство, его базис и размерность. Построение базиса. Координаты вектора.
- 22.Линейное отображение векторных пространств, его матрица. Линейные преобразования векторных пространств.
- 23. Собственные значения, собственные векторы, их свойства.
- 24.Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространстве. Евклидово и унитарное пространство. Матрица Грама.