Ряды Основные определения

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом

При этом числа будем называть членами ряда, аu_n – общим членом ряда.

Определение. Суммы ,n называются частными или частичными суммами ряда.

Очевидно, что частичные суммы образуют числовую последовательность: .

Определение. Ряд называетсясходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е.

В противном случае ряд называется расходящимся. Число называетсясуммой ряда.

Пример .1. Рассмотрим ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии:

Частичная сумма этого ряда является суммойчленов геометрической прогрессии:

Если , то, то

,

то ряд сходится и его сумма равняется .

Несложно проверить, что при ряд расходится.

Пример .2. Рассмотрим ряд .

Преобразуем . Отсюда,

.

После раскрытия скобок, все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются. Получим .

Поэтому . Значит, ряд сходится и его сумма равна единице.