logo search
моделирование-шпора

25.*Обслуживание с ожиданием. Постановка задачи. Свойства экспоненциального распределения времени обслуживания. Обслуживание как Марковский процесс.

Обслуживание с ожиданием. В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x)=1-e-mt, где  – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).

Свойства:

  1. Стационарность

  2. Ординарность

  3. Отсутствия последствий

Обслуживание как марковский процесс. В каждый момент рассматриваемая система может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k требований. Если km, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k приборов свободны. Если k>m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Еk – состояние, когда в системе находятся k требований, система может находится в состояниях E0, E1, E2…Пусть в некоторый момент времени t0 система находилась в состоянии Ei. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t0. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t0, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t0. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания на зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t0, а система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом.