3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
Ми зупинимося тут докладніше на методиці рішення алгебраїчного рівняння, тобто рівняння виду: , ліву частину якого будемо позначати також через ; нагадаємо, що мова йде тільки про речовинні коріння.
При роботі тої або іншої процедури часто виникає необхідність обчислити значення при якімсь ; організацію обчислення значення зручно проводити за схемою Горнера: будується рекурсія де , , так що .
Далі помітимо, що з алгебри відомо наступне: існує проста формула, по якій установлюється інтервал (-R,R) такий, що якщо рівняння має який-небудь (нагадуємо: речовинний!) корінь, то він виявляється усередині цього інтервалу, а саме:
,
де .
Припустимо тепер, що відносно похідній багаточлена відомі інтервали її знакопостоянства, тобто такі точки , що на ділянках функція знак не міняє, а проходячи через кожну із крапок міняє знак. Неважко обґрунтувати в цій ситуації наступні висновки: 1) якщо усередині інтервалу (-R,R) крапок немає взагалі й , те корінь (нагадуємо: речовинний!) у рівняння немає; 2) якщо в інтервалі (-R,R) крапки виявилися, то треба прорахувати в цих крапках і в крапках ; якщо серед цих значень нуля немає й всі вони мають той самий знак, то корінь (нагадуємо: речовинних!) рівняння не має; якщо ж серед цих значень будуть числа з різними знаками, те це дозволить виділити всі ділянки, на кінцях яких має різні знаки, а усередині яких знак не міняє. До кожної такої ділянки застосовна процедура уточнення кореня (ділення відрізка навпіл, методи хорд і дотичних).
І ще одне зауваження. Якщо речовинних коріння (усі) рівняння відомі, то по них повністю відновлюються ділянки знакопостоянства функції : треба прорахувати між будь-якими двома сусідніми коріннями й по сукупності знаків отриманих чисел зробити висновок.
Процедуру з'ясування ділянок знакопостоянства похідній можна організувати так. Обчислимо похідні багаточлена : ; помітимо, що похідна - лінійна функція. Тому ділянки її знакопостоянства можна обчислити. Якщо , то вже можливі формальні дії по описаній вище схемі по уточненню корінь вихідного рівняння. Якщо ж , то вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях установимо ділянки знакопостоянства функції ; потім вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях визначимо ділянки знакопостоянства функції й так далі, поки не виявиться вирішеним вихідне рівняння .
Отримана в процесі рішення інформація дозволяє встановити також і кратність кожного кореня рівняння ; нагадаємо, що корінь рівняння вважається має кратність , якщо , але . У цьому випадку, як відомо з алгебри, має місце представлення , де - багаточлен ступеня .
Для визначення значення полінома використовується таблиця Горнера.
Лекция 4
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. ЧИСЕЛЬНІ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ. МЕТОД ПРОСТИХ ІТЕРАЦІЙ І МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ. МЕТОД ІТЕРАЦІЙ ДЛЯ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ І ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
І ЇХНІХ СИСТЕМ
- Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- 1.1. Про наближені обчислення
- 1.2. Лінійні заміни змінних
- 1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- 2.1.1. Перетворення Фур'є
- 2.2. Зворотна матриця
- 3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- 3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- 3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- 3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- Метод простих ітерацій
- Метод Зейделя
- Метод ітерацій для рішення рівнянь
- 4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- Лекція 6
- 6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- 6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- 6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- 8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- 8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- 8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- 8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- 9.1.Мова n-мірних точок.
- 9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- Список рекомендованої літератури