13.Подгруппа, порожденная данным множеством. Нормальная подгруппа, порожденная данным множеством.

…Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G .Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда: H содержит единичный элемент из Gсодержит произведение любых двух элементов из H,содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент  .В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней. Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается <M>.Если M состоит из одного элемента a, то <a> называется циклической подгруппой элемента a.Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.Если группа   изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа   может быть вложена в группу G.Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы G является подгруппой группы G.Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп H и K называется подгруппа, порожденная объединением множеств  .Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.