Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого существует число, такое, что прии любом целомверно неравенство:

.

По свойству абсолютных величин:

, т.е.

.

Отсюда, по критерию Коши, из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называетсяусловно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.