17. Взаимно простые многочлены, их свойства.

Многочлены взаимно просты, если их нормализованный НОД =1(критерий взаимной простоты). Свойства вз. Пр-х мн-в.: 1) ; 2)

3) );попарно взаимно просты с (g1,g2,g3,…,g_n). Доказательство – метод математической индукции.

4) f,g –вз.пр. =>

Взаимно просты многочлены не имеют общих корней, при расширении корня А. Корнем многочлена называется элемент А, обращающий его в 0.

18. Неприводимые многочлены, их количество и свойства.  Многочлен называется неприводимым, если он не делится ни на один многочлен меньшей степени, кроме нулевой.

Свойства: 1) Пусть многочлены f,g А[x], g – неприводим, тогда (f:g или f,g – вз. пр.)

2) Пусть многочлены (f,g А[x], f,g – вз. пр.), тогда f,g – ассоциированы или вз. пр.

3) Пусть многочлены f,g,q А[x], где q – неприводимый, тогда (f*g:q) –> (f:q или g:q)

4) ((f1,f2,f3…fn), g А[x], g – неприводимый, и (f1*f2*f3*…*fn):g) –> тогда один из многочленов f делиться на g

Неприводимых многочленов для любого множества А[x], бесконечное множество

19. Каноническое разложение многочлена. Основная теорема алгебры.  Любой многочлен степени >=1 делиться хотя бы на один неприводимый многочлен.( f(x) А[x], deg(f)>=1) – можно разложить в произведение неприводимых многочленов единственным образом с точностью до ассоциированости и порядка следования сомножителей.

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен имеет ровно столько корней с учетом кратности, сколько степень многочлена. Поле C алгебраически замкнуто. ( С ≠ const).

20. Векторное пространство. Линейная зависимость-независимость векторов, свойства. Линейная оболочка векторов. Векторным пространством V называется абелева группа по сложению, для элементов которой определена операция умножения на число со следующими свойствами:

1) С1(С2U1) = (C1C2)U1

2) (C1+C2)U1 = C1U1+C2U1

3) C1(U1+U2) = C1U1+C1U2

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю.

Система векторов (U1, U2,…Un) называется линейно зависимой, если существует ее нетривиальная линейная комбинация равная нулю.

Свойства:1) Система содержащая всегда линейно зависима.

2) Если из линейно – независимой системы векторов убрать один или больше векторов, то система останется линейно – независимой.

3) Если к линейно зависимой системе добавить один или больше векторов, то она останется линейно зависимой.

4) Система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов можно выразить через другие. Линейной оболочкой векторов (U1, U2,…Un) называется V = {α1U1+…+ αnUn: α1… αn R}