Аппроксимация

Параметры схемы (неопределенные пока коэффициентыa₁, …,a_K;c₁, …,c_K; b₁₁, …,b_1K, …,b_K1, …,b_KK), конечно, не произвольны. Их (все или часть) находят, прежде всего, из условий аппроксимации, получаемых из разложения (21) в ряд в точкеt=tⁿ илиt =tⁿ⁺¹ с учетом (18) и его следствий

v_t = f(t, v),

(т. е. рассматривая аппроксимацию на решениях (18)).

Поскольку в (21) при r_kстоит множительτ, то в разложении правой части (21) нужно удерживать на один член ряда меньше, чем в левой. Индексnбудем опускать. Итак, левая часть (21):

Далее:

Если коэффициенты a_kвыбирать таким образом, чтобы

, (23)

то Подставляя эти разложения в (21) и группируя члены при одинаковых степеняхτ, получим (после деления на τ )

Очевидно, что при выполнении условия (вместе с (23))

(24)

обеспечивается 1-й порядок аппроксимации, при

(25)

(вместе с (23), (24)) — 2-й порядок аппроксимации. Условия 3-го порядка точности (вместе с (23) – (25)) есть

, (26)

а условия 4-го порядка (вместе с (23) – (26)):

,

(27)

.

Уравнения (23) – (27) составляют относительно неопределенных коэффициентов некоторую нелинейную систему. Очевидно, что привлекаемое число условий аппроксимации (т. е. порядок точности схемы рпри выполнении соответствующих условий гладкости) должно быть меньше числа отличных от нуля коэффициентов в (21), и соответствующая система должна быть разрешима. В частности, для явных схем, а для общих неявных схем.