logo
ODEGuide-arpfshr6kt7

Примеры линейных многошаговых схем

Для случая K=2 с учетом (48), (50) имеем

vn+2=1vn+1+0vn, q2–1q–0=0.

Отсюда

, ,

где

, .

Рис. 1.13. Линейные многошаговые схемы в плоскости неопределённых коэффициентов ( K = 2 )

Условия |q1(, a0,b0)|≤1, |q2(,a0,b0)|≤1 ограничивают областьA-устойчивых схем. На рис. 1.13 эта область в плоскости свободных коэффициентов {a0,b0} заштрихована (четырехугольникA1,A2,A3,A4). Сплошная прямаяB1B2— множество схем третьего порядка аппроксимации — не пересекается с множествомA-устойчивых схем. ТочкаB2на этой прямой — единственная в этом случае схема четвертого порядка аппроксимации (49). И в общем случае доказано (теорема Далквиста), чтолинейныхмногошаговыхA-устойчивыхсхемспорядкомаппроксимациивышевторогонесуществует.

Точка Aс координатами

a0=1/3, b0=0 (53)

— единственная в этом случае L-устойчивая схема (схема Кёртисса–Хиршфельдера). Область жестко-устойчивых схем, очевидно, содержится внутри себя множествоA-устойчивых схем. В частности, схема, соответствующая точкеA6, является жестко-устойчивой.

Точка A1с коэффициентами

a0=b0=0, (54)

т. е. одношаговая линейная схема (метод трапеций), из числа A-устойчивых схем является оптимальной в том смысле, что она среди другихA-устойчивых схем приK=2 ближе всего расположена и кL-устойчивой схеме (точкеA6), и к схемам 3–го порядка (наиболее точная изA-устойчивых схем).

Отметим еще схему 3-го порядка точности, соответствующую точке B1. Она является жестко-устойчивой и наиболее близка к множествуA-устойчивых схем. Для этой схемы

a0=0, b0= –1/12. (55)

Явным схемам на рис. 1.13 соответствует штриховая прямая. В частности, точкаA5с коэффициентами

a0 = 0, b0 = –1/2 (56)

— явная схема Адамса. Все явные схемы, как видно, не являются A-устойчивыми. А в целом, семейство линейных многошаговых схем существенно беднее схем типа Рунге–Кутты.

    1.