logo
ODEGuide-arpfshr6kt7

Пример: сингулярно-возмущённая нелинейная система второго порядка

Рассмотрим следующую автономную (правая часть не зависит от времени) систему двух нелинейных уравнений:

, ,,,,

, . (14)

Убедимся, что система жесткая. Записав (14) в векторной форме u= {x, y},,, имеем:

или

.

Если мало, то,. Видно, что,при(λ2называют нормальной частью спектра, а λ1— жесткой частью спектра).

Предельное уравнение:

или ,

. (15)

В случае уравнения Ван-дер-Поля:

; (16)

получаем предельное уравнение и поле решений в фазовой плоскости, изображённое на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Поле решений уравнения Ван-дер-Поля

Вдали от линии имеем почти горизонтальное поле направлений, а на линии выделяются две устойчивые ветвиABиCDи одна неустойчивая ветвьBC. При любых начальных значенияхтраектория этой системы — замкнутая криваяBB΄CC΄.

1) На участке траектория почти горизонтальна и приближенно определяется уравнениями:

, ,(17)

(пограничный слой).

2) При и система описывается предельными уравнениями (16) (квазистационарный режим вплоть до точкиB ). Если и после т. B пользоваться предельными уравнениями (16), то мы бы двигались по BC. Но реальная система на этом участке является неустойчивой и сходит с него на ветвь DB΄C. На этом участке , и решение определяется поведением.

3) Опять пограничный слой (17) при , за ним квазистационарное движение на участкеB΄Cпри, пограничный слой и т. д. (все повторяется).

Рис. 1.7. Компоненты решения уравнения Ван-дер-Поля в зависимости от времени

      1.