15. Построение кольца многочленов от одной переменной над кольцом с единицей, степень многочлена, степень суммы и произведения многочленов.

Пусть А – ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей (не выполнена В₄). Рассмотрим бесконечные последовательности f из элементов А, где только конечное число элементов не равно 0.

f ∙ g = h= (h₀,h₁,…); h₁=

(A[x],+, ∙ ); f = (f₀,f₁,…,f_n,0,0,…) = f₀+f₁x+f₂x²+…+f_nxⁿ ;(n=deg(f))

deg(f+g)≤max(deg(f),deg(g)); deg(f ∙ g) ≤ deg(f)+deg(g);(f_n ∙ g_m), т.к. в некоторых кольцах произведение двух не нулевых элементов равно нулевому. Кольцо А называется целостным, если в нем нет делителей нуля, т.е. исключена ситуация: f_n ≠ 0, g_m ≠ 0. Если А – целостное кольцо => deg(f ∙ g) = deg(f)+deg(g).Если А – целостное кольцо, то A[x] тоже ц.к. По определению степень многочлена 0 берут равной - ∞.(deg(0)= - ∞).