10 Системы дифференциальных уравнений

Линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка называется система вида

(10.1)

Запись системы в виде (10.1) называется нормальной формой.

Если функции , ,…, тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Предполагается, что аргумент изменяется на всей числовой оси или на некотором промежутке (например, на отрезке ). Коэффициенты и свободные члены предполагаются непрерывными на соответствующем множестве функциями.

Пусть неизвестные функции , …, в некоторой точке x₀ множества, на котором рассматривается система (10.1), удовлетворяют условиям

, (10.2)

где заданные числа. Условия (10.2) называются начальными условиями для системы (10.1).

Задача (10.1)–(10.2) называется задачей Коши или задачей с начальными условиями для системы (10.1).

Решение задачи (10.1)–(10.2) называется частным решением системы (10.1).

Если коэффициенты и свободные члены непрерывны на , то для любой точки x₀ из интервала решение задачи Коши (10.1)–(10.2) существует и единственно.

Общим решением системы (10.1) называется всякое её решение, из которого можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям (10.2) при любой точке x₀ из соответствующего множества и любых конкретно выбранных числах

Одним из основных методов нахождения решения однородных нормальных систем является метод исключения неизвестных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n – го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример. Найти общее решение системы уравнений

Решение. Продифференцировав первое из уравнений системы по , получим . Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы и заменяя функцию её выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции:

; ;

или .

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения таково: , откуда , ; тогда , где – произвольные постоянные. Дифференцируя последнее равенство, имеем . Подставляя выражения для и в первое уравнение системы, получаем

, .

Общее решение данной системы имеет вид , .

Найдём частное решение данной системы, удовлетворяющее начальным условиям

Это означает, что в общем решении , надо выделить такие числа , чтобы выполнялись эти начальные условия.

Так как то получаем следующую систему линейных уравнений для нахождения и :

Её решение таково: , .

Таким образом, частные решения системы уравнений данного примера, удовлетворяющее начальным условиям имеют вид , .

Рассмотрим ещё один метод нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме.

Пусть при каждом система функций

(10.3)

является частным решением однородной системы линейных уравнений. Назовём систему решений (10.3) фундаментальной системой решений однородной системы, если определитель

(10.4)

не равен тождественно нулю в интервале . При этом определитель (10.4) называется определителем Вронского, а матрица W(x) – фундаментальной матрицей системы.

Каждый набор функций (10.3) можно трактовать как n – мерный вектор

,

соответствующими координатами которого являются функции (10.3). В случае фундаментальной системы решений это означает, что векторы ( ) линейно независимы на интервале .

Если (10.3) есть фундаментальная система решений однородной системы в нормальной форме, то общее решение этой системы имеет вид

, (10.5)

где – произвольные постоянные. Запишем (10.5) в развёрнутом виде: